Cómo expandir la patología de esta distribución cero (o medida).

Question

Suponga $\delta$ es el cero de Dirac de distribución (medida) en $\Bbb R$. es decir,

$$(\delta,f)= \int_\Bbb R f\delta(dx) =f(0)$$

Sabemos si $T\in \mathcal {D'}(\Bbb R)$ es una distribución a continuación, para cada $ \phi \in C^\infty(\Bbb R)$ tenemos que $\phi T$ es también una distribución define por

$$(\phi T, f) = ( T, \phi f)$$ Por otra parte, $$(\phi T)'= \phi'T+\phi T' $$ Mi problema. Si nos consiser el caso particular $\phi= x$ o $\phi=x^2$ $T= \delta$

tenemos, $$(x\delta, f)= (xf)(0)=0~~~\forall ~~f$$

Pregunta: ¿esto significa que $\color{red}{x\delta \equiv 0}$$ \mathcal {D'}(\Bbb R)$?

• Si sí, ¿cómo explicar el hecho de que $$\color{blue}{0 =(x\delta)' = \delta +x\delta'}$$
• Si no lo es $\color{red}{x\delta }$ como una distribución?

Evidentemente si uno de considerar la medida de $$\mu(dx) = x^2 \delta(dx)$$ entonces sucede que $$\int f\mu(dx) = 0~~~\forall ~~f$$

¿Por qué es $\mu$ trivial medida.?

Answer 1

Sí,$x\delta=0$. Esto es obvio a partir de las definiciones:$$(x\delta)(f)=\delta(xf(x))=0f(0)=0.$ $

Sí, se deduce que$\delta + x\delta'=0$. Usted pregunta cómo explicar esto. ¿Qué hay que explicar? Has probado que es verdad; ¿Por qué no debería ser verdad?

También es obvio a partir de las definiciones que$x\delta' = -\delta$:$$(x\delta')(f)=\delta'(xf(x))=-\delta((xf(x))')=-\delta(xf'(x)+f(x))=-f(0). $ $

Answer 2

Como lo definió$\mu \ll \delta$ y$\frac{d \mu}{d \delta}(x) = x^{2}$. Está bien, pero$x^{2} = 0$$\delta$ - casi en todas partes. Por lo tanto, podemos decir$\frac{d \mu}{d \delta}(x) = 0$$\delta$ - ae Por lo tanto,$\mu = 0$.

La ecuación$0 = \delta + x \delta'$ de hecho parece extraña. Por otra parte,$\langle \delta', f \rangle = - f'(0)$ (según la definición de derivada distribucional) así \begin{align*} \forall \psi \in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}) \quad \langle x \delta', \psi \rangle &= \langle \delta', x \psi \rangle \\ &= -(x \psi)'(0) \\ &= - 0 \cdot \psi'(0) - (1) \cdot \psi(0) \\ &= - \psi(0) \\ &= -\langle \delta, \psi \rangle. \end {align *} Esto prueba$\delta + x \delta' = 0$ directamente.