Cómo resolver $u'' + k u + \epsilon u^3 = 0$ ?

Question

Estoy viendo el proyecto de mi clase de ODE, hay un problema que dice que tenemos que resolver $u'' + k u + \epsilon u^3 = 0$ . El problema nos da algunos valores de $k$ , $\epsilon$ y dice que deberías experimentar con diferentes valores iniciales con el método de Euler. He resuelto la ecuación utilizando el método de Euler. Pero ahora estoy confuso, cómo puedo saber que he obtenido la solución correcta, en ejercicios anteriores el libro daba la respuesta para la función y podemos compararla con la respuesta de Euler, la página del proyecto no dice nada sobre la respuesta. He probado a dejar $u = e^{rt}$ como en la clase para obtener la ecuación característica si ambas constantes son 1: $$ r^2 + r + e^{2rt}=0 $$ pero no puedo resolverlo. Muchas gracias.

Los valores iniciales son $u(0)=0$ , $u'(0)=1$ y $k=\epsilon =1$ .

Answer 1

Parece que se supone que hay que utilizar la teoría de perturbaciones para resolver esto-el $\epsilon$ es un aviso. Inicialmente se establece $\epsilon$ a cero, lo que da una ecuación que sabes resolver. Designamos su solución $u_0$ como la solución de orden cero y esperar que como el otro término es pequeño no perturbe demasiado la solución. Así que $u_0=a \cos (\sqrt k t + \phi)$ . Ahora se introduce esto en el término de perturbación y se resuelve la nueva ecuación, obteniéndose $u_1''+ku_1+\epsilon u_0=0$ ou $u_1''+ku_1+\epsilon a \cos (\sqrt k t + \phi)=0$ . Ahora resuelve esto para obtener $u_1(t)$ . Introdúzcalo en la ecuación original para obtener $u_2''+ku_2+\epsilon u_1=0$ . Deberías obtener nuevos términos con múltiplos de la frecuencia original. Continúa hasta que te canses. Mientras $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño, esperas que las correcciones sean cada vez menores.

Con su edición, me preocuparía que $\epsilon =1$ puede perturbar la solución lo suficiente como para que las cosas no converjan. Incluso en primer orden, puede aparecer un término secular (frecuencia cero) que represente un movimiento sin límites.

Answer 2

Con ambos $k,\epsilon$ positivo, está garantizado que se obtiene una oscilación lenta, algo así como una onda sinusoidal o un Función de Bessel . De todos modos, con $u$ positivo $u''$ es estrictamente negativo. La única parte impredecible es que puedes obtener primeras derivadas ligeramente diferentes en cada nueva raíz de $u,$ así que el conjunto no va a ser exactamente periódico, sólo casi.

Vería de conseguir estimaciones numéricas para $u'$ en cada ocurrencia de $u=0.$ Creo que es muy probable que, tras varias oscilaciones, cada una de esas $|u'|$ se aproxima a un valor determinado, y la curva se vuelve muy próxima a la periódica. Pero tal vez eso es sólo conmigo.

https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_periodic_function