Extensión Biquadratica

Question

Necesito una pista para resolver el ejercicio 13.2.9 en Dummit y Foote. Supongamos que$F$ es un campo de char no igual a 2. Supongamos que$a^2 -b$ es un cuadrado donde$a,b \in F$ y$b$ no es un cuadrado. Muestra$\sqrt{a + \sqrt{b}} =\sqrt{m} +\sqrt{n}$ para algunos$m,n \in F$.

He reducido a$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^{2}$ pero no sé cómo proceder

Answer 1

Hipotéticamente, si$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{m} +\sqrt{n}$ luego$a + \sqrt{b} = m + n + 2 \sqrt{m n}$ podría ser ese$a = m + n$ y$b = 4 m n$, entonces tendríamos además$a^2 - b = (m - n)^2$.

Entonces digamos que dado$a,b$ definimos$m = \tfrac{1}{2}(a + \sqrt{a^2 - b})$,$n = \tfrac{1}{2}(a - \sqrt{a^2 - b})$. Estos son ciertamente elementos del campo debido a la condición de que$a^2 - b$ sea un cuadrado, además, multiplicarlo demuestra que funciona.