Permita que$f:(a,b)\to \mathbb R$ sea una función convexa no decreciente e invertible. Probar$f^{-1}$ es cóncavo. Existen todos estos teoremas y reglas, pero no puedo llegar allí ... Agradecería tu ayuda.
Respuestas
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gerrytan
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Leon Katsnelson
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Si $f$ es no decreciente y invertible, por lo que es $f^{-1}$.
Desde $f$ es convexa, tenemos, por $\lambda \in [0,1]$, $f(\lambda x + (1-\lambda )y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)$. La aplicación de $f^{-1}$ da $\lambda x + (1-\lambda )y) \le f^{-1}(\lambda f(x) + (1-\lambda) f(y))$.
Ahora supongamos $x=f^{-1}(s), y=f^{-1}(t)$, entonces esto le da el resultado deseado.
Alternativa: Aquí es un mayor enfoque geométrico (inspirado por Neeraj la respuesta):
De nuevo, esto depende de que el hecho de que si $f$ es no decreciente, entonces es $f^{-1}$.
Tenga en cuenta que $(x,y) \in \operatorname{epi} f$ fib $y \ge f(x)$ fib $f^{-1}(y) \ge x$ fib $-x \ge -f^{-1}(y)$ fib $(y,-x) \in \operatorname{epi} (-f^{-1})$.
Desde $f$ es convexa y la transformación de $\phi(x,y) = (y,-x)$ es lineal, podemos ver que $\operatorname{epi} (-f^{-1}) = \phi (\operatorname{epi} f)$, por lo que es convexa y, por tanto, $-f^{-1}$ es convexa. Teniendo en cuenta el signo de menos, vemos que $f^{-1}$ es cóncava.
liammclennan
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Aquí es una prueba de que no es probablemente la más útil para el OP y requiere suposiciones. Pero se trata de una casa de la cadena de aplicación de la regla.
Supongamos, además, que $f$ es dos veces diferenciable. Desde la gráfica de $f$ es convexa, tenemos $f''(x) > 0$ todos los $x$ dentro del dominio de $f$. Desde $f$ es no decreciente, $f'(x) > 0$ todos los $x$.
(Creo que la convexidad y la monotonía supuestos juntos descartar $f'(x) = 0$. La canónica contraejemplo $f(x) = x^3$ no satisface la concavidad de la asunción. En el caso de que estoy equivocado, podemos seguir adelante y asumir $f'(x) > 0$ todos los $x$.)
El teorema de la función inversa nos dice que para todos los $y$ en el rango de $f$, $$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$ Tomar otro derivado, y aplicar la regla de la cadena: \begin{align*} (f^{-1})''(y) &= \frac{-1}{(f'(f^{-1}(y)))^2} \cdot f''(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) \\ &= \frac{-1}{(f'(f^{-1}(y)))^2} \cdot f''(f^{-1}(y)) \cdot \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \\ &= \frac{- f''(f^{-1}(y))}{(f'(f^{-1}(y)))^3} \end{align*} Desde $f'$ $f''$ son positivos, tenemos $(f^{-1})''(y) < 0$. De manera que la gráfica de $f^{-1}$ es cóncava.
