¿Por qué la convergencia es absoluta?

Question

Hay una cosa en mi libro utiliza en una prueba después de Abels teorema que no entiendo:

Digamos que $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge.

Para $0\le x<1$, nos fijamos en $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$. El libro dice que esta serie converge absolutamente para todos los valores de $x$ hemos definido. Pero, ¿por qué? Empezamos con una secuencia que podría incluso no converge absolutamente. Y ¿cómo sabemos que tenemos la convergencia cuando se introduce el $x$ variable? Habría sido fácil para ver la convergencia si la original serie es absolutamente convergente, no sólo convergentes, pero que sólo el estado que la original de la serie es convergente.

ACTUALIZACIÓN:

Si usted está interesado tengo la imagen del libro. Teorema 8.2 es Abels teorema, la Definición de 3.48 es la de Cauchy-producto(pero esto es claro a partir de la imagen), y lo Teorema 3.51 estados es también claro en la imagen:

Answer 1

La convergencia es absoluta, siempre que $0\leq x<1$. En otras palabras,$x=1$ no está permitido (y el teorema de Abel intenta asignar un valor razonable a la suma en$x=1$). Como$\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge, entonces$a_n\rightarrow 0$, lo que significa que$|a_n|\leq C$ y así$\sum_{n\geq 0} |a_nx^n|\leq C \sum_{n\geq 0} |x|^n<\infty$ para$0\leq x<1$.

Answer 2

Si$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ converge, entonces$a_n \to 0$ y$|a_n| \to 0$,

entonces$ |a_n x^n|$ está delimitado arriba por$ \max_k(|a_k|) |x|^n$,

y por lo tanto, la suma parcial$\displaystyle \sum_{n=0}^m |a_n x^n|$ es una secuencia creciente delimitada anteriormente por$\dfrac{\max_k(|a_k|)}{1-|x|}$ si$0 \le x \lt 1$,

haciendo que la serie infinita sea absolutamente convergente.

Puedes extender esto fácilmente a$-1 \lt x \lt 1$.

Answer 3

Si el límite de $ \lim_{n\to\infty}\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ existe, entonces por el coeficiente de prueba, si

$$ \lim_{n\to\infty}\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1 $$

a continuación, el original de la serie diverge, que sabemos que es falso. Por tanto la relación anterior es $1$ o menos de $1$.

Por lo tanto, al aplicar el test del cociente de la potencia de la serie, vamos a examinar

$$ \lim_{n\to\infty}\left| \dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n} \right| = \left| \dfrac{a_{n+1}x}{a_n} \right| < \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq 1 $$

para $|x| < 1$, y hemos de convergencia absoluta.

Si el límite no existe, entonces la declaración de la relación de la prueba implica la lim inf y lim sup, y este argumento no funciona; por lo tanto las otras respuestas ($|a_n x^n| \leq \max_k |a_k| x^n$) son más completos.