¿Cuándo es$\pi_0$ un grupo?

Question

En general, $\pi_0(X)$ es el conjunto de componentes de la ruta de $X$ y no tiene una estructura de grupo. Después de todo, $S_0$ está a sólo dos puntos y la manera usual de la multiplicación por medio de la ecuación de una esfera no funciona. Pero a veces es. Por ejemplo, si $X$ es un espacio H todavía tenemos un 0-th homotopy grupo.

¿Cuáles son los otros casos? En particular, si $G$ es un grupo discreto (grupo con la topología discreta), entonces es $\pi_0(G)=G$ como un conjunto y como parte de un grupo?

Answer 1

Al $G$ es un grupo topológico, siempre tenemos que $\pi_0(G)$ es un (topológico) grupo!

Lema: El componente conectado de la identidad en $G$ - vamos a denotar es $C$ - es un subgrupo normal de $G$. Por la continuidad del grupo de operación, $f(C,C)$ está conectado. Contiene la identidad, por lo $f(C,C) \subset C$ porque $C$ es el componente conectado de la identidad. Del mismo modo, $C^{-1} \subset C$ por la continuidad de la inversión del operador. Por lo $C$ es un subgrupo.

Tenemos que mostrar la normalidad aún: que $xCx^{-1} \subset C$$x \in G$. Continuidad (de nuevo!) nos muestra que $f(xC, x^{-1})$ está conectado, porque $xC = f(x,C)$ está conectado, por lo que el $xCx^{-1} \subset C$. Esto demuestra lo que queríamos demostrar.

Ahora $G/C$ es el conjunto de componentes conectados de $G$, y es un grupo. Por lo $\pi_0(G)$ siempre hereda una estructura de grupo de $G$.