Determinación de un intervalo de confianza para $\sigma$ de una distribución de Rayleigh

Question

Hola stackexchangers,

Supongamos que tenemos $n$ Las distribuciones de Rayleigh definidas por $$f_X(x)=\frac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/2\sigma^2}.$$ ¿Cómo se puede determinar un intervalo de confianza aproximado para $\sigma$ ? Un querido amigo me planteó este problema y me sugirió que utilizara el método de los mínimos cuadrados en $\sigma$ .

Guiado por su sabiduría, encontré que la predicción por mínimos cuadrados era $$\sigma^*=\bar{x}\sqrt{\frac{2}{\pi}},$$ donde $\bar{x}$ es el valor medio, pero estoy completamente perdido en cuanto a cómo proceder.

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Su alcalde,

Ron Ford

Answer 1

Desde que preguntó esto hemos actualizado la entrada de Rayleigh en la wikipedia con el MLE insesgado para el parámetro de Rayleigh, así como los intervalos de confianza, que son convenientemente funciones del $\chi^2$ distribución.

En particular:

Dada una muestra de N muestras i.i.d. $x_i$ de la distribución Rayleigh con parámetro $\sigma$ , $\widehat{\sigma^2}\approx \!\,\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N x_i^2$ es una estimación insesgada de máxima verosimilitud.

Para encontrar el (1 -  α ), primero hay que encontrar $\chi_1^2, \ \chi_2^2$ donde $Pr(\chi^2(2n) \leq \chi_1^2) = \alpha/2, \quad Pr(\chi^2(2n) \leq \chi_2^2) = 1 - \alpha/2$ entonces $\frac{2n\overline{x^2}}{\chi_2^2} \leq \widehat{\sigma}^2 \leq \frac{2n\overline{x^2}}{\chi_1^2}$

Answer 2

Le daré una aproximación. Como tenemos que empezar por algún sitio, asumimos audazmente que $n$ es lo suficientemente grande para que se cumpla el teorema del límite central para $\sigma^*=\bar{X}\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ ; observe que su estimador puntual $\sigma_{\text{obs}}^*=\bar{x}\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ del parámetro de escala $\sigma$ es una observación de la variable aleatoria $\sigma^*$ .

Ahora bien, como $\sigma^*$ tiene una distribución aproximadamente normal con un valor esperado $\sigma$ y la desviación estándar $D[\sigma^*]=f(\sigma)$ un intervalo de confianza aproximado para el estimador viene dado por $I_\sigma=(\sigma_{\text{obs}}^*\pm\underbrace{\lambda_{0.025}}_{1.96}d)$ donde calculamos $d$ de la siguiente manera:

$$D[\sigma^*]=\sqrt{V[\sigma^*]}=\sqrt{V[\bar{X}\sqrt{\frac{2}{\pi}}]}=\sqrt{\frac{2}{\pi}V[\bar{X}]}=\sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{1}{n}V[X]}=\sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{1}{n}\frac{4-\pi}{2}\sigma^2}\\\implies d=\sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{1}{n}\frac{4-\pi}{2}{\sigma_{\text{obs}}^*}^2}$$