La comprensión de la prueba por la geometría algebraica, el último teorema de Fermat para los polinomios de al $n = 3$.

Question

Esta es una respuesta a mi pregunta aquí.

Vea aquí. La pregunta es la siguiente.

¿Cómo podemos ver que no existen no constante, relativamente primos, los polinomios de $a(t)$, $b(t)$, y $c(t) \in \mathbb{C}[t]$ tal que$$a(t)^3 + b(t)^3 = c(t)^3?$$

Existe la siguiente respuesta, la "mejor motivados prueba en la que ves a $\mathbb{CP}^1$ no pueden mapa holomorphically a un género $1$ curva".

Vamos $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$ tienen un grado $n_1$, $n_2$, $n_3$, respectivamente, y $n = \text{max}(n_1, n_2, n_3)$. Entonces podemos definir $A(u, v)$, $B(u, v)$, $C(u, v)$ como polinomios homogéneos de grado $n$ tal que$$A(u, 1) = a(u),\text{ }B(u, 1) = b(u),\text{ }C(u, 1) = c(u).$$Then, by construction,$$A(u, v)^3 + B(u, v)^3 = C(u, v)^3.$$Let$$E = \{(x, y, z) \in \mathbb{P}^2 : x^3 + y^3 = z^3\}.$$$E$ es una curva suave de género $1$, es decir, una curva elíptica. Ahora, definir un mapa$$\varphi: \mathbb{P}^1 \to E,\text{ }(u, v) \mapsto (A(u, v), B(u, v), C(u, v)).$$This map is well-defined since $A(u, v)$, $B(u, v)$, $C(u, v)$ are homogeneous polynomials of the same degree which do not vanish simultaneously. Moreover, this map is nonconstant and proper since its source is projective. As the image of a proper map is closed and it is not a point, and $E$ is an irreducible $1$-dimensional variety follows that $\varphi$ is a surjective morphism. $E$ is a topologically a torus, i..e it has genus $1$ and there is a one up to scaling differential form $\tau$ on it. This will imply that its pullback $\varphi^*\tau$ is a differential form on $\mathbb{P}^1$, which is impossible since it has genus $0$. In more formal terms, a surjective map $\mathbb{P}^1 \a E$ gives rise to the injection $H^0(E, \Omega^1) \H^0(\mathbb{P}^1, \Omega^1)$. But this is absurd, since the former is a vector space of dimension $1$ and the latter is a vector space of dimension $0$.

Tal vez usted podría querer decir algo acerca de por qué la retirada de un no-cero holomorphic diferencial es distinto de cero.

$X$ $Y$ son las superficies de Riemann y $f: X \to Y$ holomorphic diferencial de la forma se parece a $g(z)\,dz$ donde $g$ es un holomorphic función. Luego de su retirada es localmente dado por $g(f(z))\,df$. Es obviamente distinto de cero mientras $f$ es no constante.

Por desgracia, yo no conozco a ninguna geometría algebraica y no entiendo muy bien lo que está pasando. ¿Alguien puede resumir/explicar la motivación de los/explicar lo que está pasando/explicar los pasos clave/que me ayude a entender la prueba? Gracias.

Answer 1

A mí me parece que no hay mejor "explicación" de su introducción de la frase sobre "la mejor motivación prueba de que el CP1 no puedo asignar holomorphically a un género 1 curva". Pero, por supuesto, usted necesita saber que la noción de género y su functorial propiedades. Uno puede intentar explicar por la "mano que se agita" que el género de una superficie algebraica es el número de "agujeros" en él, y es un invariante topológico. El complejo proyectiva de la línea puede ser visto como una esfera (la esfera de Riemann), de género 0 (sin agujero!). El 3er grado de la ecuación de Fermat puede ser visto como la ecuación en coordenadas homogéneas, de un suave plano cúbico. Tales curvas son llamadas "curvas elípticas" (no elipses, que son las curvas de la 2º grado; el nombre viene de la "elíptica", las funciones que intervienen en el cálculo de la longitud de un arco de elipse). Curvas elípticas son notables, debido a que poseen una estructura natural de abelian grupos. Por la Riemann-Roch teorema,se sabe que han género 1 (creo que de un toro, o un bretzel!). La existencia del polinomio de soluciones de 3º de grado de la ecuación de Fermat, a grandes rasgos, daría un "parametrización" de la curva de Fermat por funciones racionales, de modo que el punto clave en la prueba por la geometría algebraica que usted menciona se encuentra en la Riemann-Hurwitz fórmula que relaciona el número de géneros de nuestros dos holomorphic curvas (superficies) .

Volviendo al teorema de Fermat para polinomios (y para cualquier exponente n de no menos de 3), se ha demostrado por Liouville. Hoy en día, la escuela de demostración puede ser fácilmente deriva de una no menos elemental teorema de Mason (1984): "Para cualquier polinomio P(t) denota por N(P) el número de distintas raíces de P. Si a, b, c son 3 polinomios en t tal que a + b = c, entonces N(abc) - 1 no es menor que max(deg(a), deg(b), deg(c))". Tenga en cuenta que esta inspirado en la formulación de la famosa "abc conjetura" (Masser-Oesterlé) que, si son verdaderos, permitiría resolver muchos de los importantes diophantine problemas.