¿La función de variación total es uniforme continua o continua?

Question

He estado haciendo algunos ejercicios de variación total cuando las siguientes preguntas vinieron a mi mente:

(1) Vamos a $f$ ser continua en el intervalo $[0,1]$, y estar de variación acotada. Es cierto que el total de sus vatiation función de $TV(f_{[0,x]})$ es uniformemente continua? es decir, Es cierto que para $\forall\space\epsilon>0$, $\exists\space\delta>0$, tal que para cualquier intervalo de $[a,b]$$|b-a|<\delta$,$TV(f_{[a,b]})<\epsilon$?

(2) Alternativamente, si no es uniformemente continua, puedo decir que para $\forall\space{}x\in[0,1]\text{ and } \forall\space\epsilon>0$ , $\exists\space\text{ nondegenerate interval }I \text{ such that }x\in{}I\text{ and } TV(f_{I})<\epsilon$?

Gracias!

Answer 1

Puesto que una función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua, en realidad se está preguntando si el total de la variación de una función continua es continua.

Deje $\epsilon\gt0$ $x_0\in(0,1]$ ser dado. Dado que la variación total es no decreciente, es suficiente para encontrar un punto de $x\lt x_0$ $TV(f_{[x,x_0]})\lt\epsilon$ a mostrar que la variación total es de izquierda continua, y por lo tanto por simetría con el botón derecho del continuo y por lo tanto continua.

Elegir algún punto de $x_1\lt x_0$. Por definición no es una partición de a $[x_1,x_0]$ tal que la suma de las diferencias absolutas de los valores de la función sobre la partición está dentro de$\epsilon/2$$TV(f_{[x_1,x_0]})$. Desde $f$ es continua, se puede encontrar un punto de $x$ entre el último punto intermedio de la partición y $x_0$ tal que $|f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon/2$. Refinación de la partición con este punto de no disminuir su suma de las diferencias absolutas. Ahora la suma de las diferencias absolutas en la partición de hasta el $x$ está dentro de$\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$$TV(f_{[x_1,x_0]})$, y por lo tanto así es $TV(f_{[x_1,x]})$; por lo tanto $TV(f_{[x,x_0]})\lt\epsilon$ como se requiere.