Qué $x$ siempre existen?

Question

Si $m$, $n$ y $p$ son fijos enteros positivos tales que a $p$ es un primer e $\text{gcd}(m,n) = \text{gcd}(n,p) = 1$, hace un entero $x$ siempre existe, tal que,

$$ nx \equiv m \pmod p $$

Yo estaba mirando modular de ecuaciones que involucran racionales y esta pregunta me vino a la mente.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.

Answer 1

Usted necesidad justa de $\gcd(n,p)=1$ $p$ no necesita ser el primer.

De hecho, por la identidad de Bézout, existen enteros $a$ $b$ tal que $an+bp=1$, por lo que ha $an=1-bp$ y $$ anx=(1-pb)x=x-bpx\equiv x\pmod{p} $$ Así obtendrá su solución deseada a $nx\equiv m\pmod{p}$ por $$ x\equiv am\pmod{p} $$ Si desea que el mínimo positiva, la solución será de la forma $$ am+kp $$ para un adecuado entero $k$.

Answer 2

Los elementos del modulo $p$ forment un campo $\mathbb F_p$ en el que todos los número $n$ no múltiplo de $p$ ( $\text{gcd}(n,p) = 1$ ) de la onu representa un elemento que es invertible en a $\mathbb F_p$. Además de $nx \equiv m \pmod p$ con los números es equivalente a $nx=m$ con los respectivos elementos en $\mathbb F_p$. Por lo tanto $$nx=m\Rightarrow \boxed{ x=n^{-1}\cdot m}$$

En los ejemplos de $\mathbb F_{13}$ $$3x=2\Rightarrow x=3^{-1}\cdot2=9\cdot2=5\\3x=6\Rightarrow x=3^{-1}\cdot6=9\cdot6=2$$

Se puede ver en estos dos ejemplos de que la condición de $\text{gcd}(m,n) =1$ no es necesario.