Encontrar un Galois de la extensión de los racionales cuyo grupo de Galois es isomorfo a $\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3$

Question

Estoy buscando una extensión de Galois $F$ $\mathbb{Q}$ cuyos asociados grupo de Galois $\mbox{Gal}(F, \mathbb{Q})$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3$. Me pregunto si debería considerar algunos de los $u \notin Q$ cuyo polinomio mínimo en $Q[x]$ tiene el grado 9. En ese caso tendríamos $[\mathbb{Q}(u) : \mathbb{Q}] = 9$ e lo $|\mbox{Gal}(\mathbb{Q}(u), \mathbb{Q})| = 9$ (suponiendo que la extensión de Galois). Pero ya hay dos grupos distintos de la orden de 9 (hasta el isomorfismo), no estoy seguro de que esto va a producir el resultado deseado.

Answer 1

Esto es algo que hoy en día se puede hacer fácilmente mediante el uso de la LMFDB de la Base de datos.

Por ejemplo, si vas al enlace de arriba, en el lado izquierdo encontrará una columna con el Número de palabras de los Campos y las opciones Globales y Locales. Haciendo clic sobre la opción Global usted será llevado a una página que permite buscar por número de campos, es decir, finito extensiones de $\mathbb{Q}$, y, en particular, permite hacer una búsqueda refinada de acuerdo a diferentes parámetros que usted podría estar interesado en.

En este caso, puede restringir el grado de su número de campos a ser 9 y usted puede elegir el grupo de Galois a ser $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}$ escribiendo la opción C3xC3.

Por ejemplo, una simple búsqueda con las opciones a las que fácilmente muestra que si $\alpha$ es una raíz del polinomio $f(x):= x^9 - 15x^7 - 4x^6 + 54x^5 + 12x^4 - 38x^3 - 9x^2 + 6x + 1$, entonces el campo de número de $F = \mathbb{Q}(\alpha)$ es de Galois sobre $\mathbb{Q}$ y tiene un grupo de Galois $\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}$.

Os animo a intentar aprender a utilizar el sitio web, ya que proporciona una herramienta maravillosa para la realización de experimentos en la teoría de números y en áreas relacionadas.

PS: Como un ejercicio útil, ¿por qué no tratar de cambiar la condición en el grupo de Galois para el otro posible grupo de orden 9. Que definitivamente va a responder a su pregunta acerca de si sólo la elección de una raíz de un polinomio irreducible de grado 9 podría funcionar ;-)

Answer 2

Tome $\alpha = \exp(2\pi i/7),\ \beta = \exp(2\pi i/13)$, de raíces primitivas de la unidad de la orden de 7 y 13 (estos son los números primos y dejar un resto 1 al ser dividido por 3). Que generan campos de tener cíclico de Galois de los grupos de orden 6 y 12 respectivamente. Cada uno de ellos tiene sus propios (único) cúbicos subcampos tener grupo cíclico de orden 3 como sus grupos de Galois.

Así que mi conjetura es la siguiente algebraica de números debe generar el campo que desea: $\alpha +\bar \alpha +\beta +\beta^3+\beta^9$

Answer 3

Resulta que si tienes que elegir un polinomio al azar, es poco probable que la ampliación será Galois (incluso si no se puede garantizar lo que es el grupo de Galois sería). Esto se puede cuantificar en diversas formas.

si $L/\mathbb{Q}$ $K/\mathbb{Q}$ son linealmente disjuntos, extensiones de Galois, entonces el grupo de Galois de la compositum $LK$ es igual al producto de los grupos de Galois. Por lo tanto, estamos reducidos a encontrar linealmente disjuntos extensiones de Galois de grado $3$. (Por el contrario, todas las extensiones con su grupo de Galois surgir de esta manera, por la teoría de Galois).

Desde estas cúbicas son Galois y $3$ es primo, "linealmente disjuntos" es el mismo como "intersección es igual a $\mathbb{Q}$. Un polinomio cúbico genera un cíclica cúbicos de campo si y sólo si su discriminante es un cuadrado, así que usted puede escribir cualquiera de los dos irreductible polinomios cúbicos con coprime plaza discriminante, por ejemplo. Para más información sobre cúbicos extensiones, esto es bueno:

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/galoistheory/cubicquartic.pdf

Answer 4

$F=\Bbb Q(\cos(2\pi/7),\cos(2\pi/9))$ obras.

Es el compositum de dos lineal discontinuo Galois cúbicos extensiones.

Answer 5

http://www.math.ku.edu/~dlk/abgal.pdf

Este papel podría ser de ayuda. Se resuelve el inverso de Galois problema para todos los abelian grupos, y el grupo abelian.