Notación alternativa para la función inversa

Question

Somos todos conocidos los problemas que presenta la notación de las funciones de inverso/contrario/anti $f^{-1}(x)$, siendo la más importante la confusión con ${f(x)}^{-1}$, como en el clásico $\sin^{-1}(x)$, o casos extraños como ${f^{-1}(x)}^{-2}$, etcetera. Problemas aparece fuertemente en la escritura manual.

¿Hay otra Convención de notación para las funciones inversas más o menos ampliamente utilizadas? ¿Algo así como $f^{#}(x)$, $f^{r}(x)$, $rev{f}(x)$?

Si no, ¿por qué no? Parece algo interesante para mejorar.

Answer 1

Si nada, creo que el $f^{-1}(x)$ es absolutamente la notación correcta para una función inversa. En consecuencia, creo $f^2(x)$ es absolutamente la notación correcta para $(f\circ f)(x) = f(f(x))$, no por $(f(x))^2$. Pero esto es sin duda una cuestión de gusto, así como el contexto, y otras personas no estarán de acuerdo conmigo. Por ejemplo, si $f$ no es un endomorfismo, a continuación, $(f\circ f)$ no tiene ningún sentido, mientras que si el codominio de $f$ no tiene ningún tipo de estructura multiplicativa, a continuación, $(f(x))^2$ no tiene sentido. Como lector, siempre se debe tener en cuenta que el autor puede utilizar los símbolos de un modo más adecuado a su trabajo (o incluso sólo su sensibilidad estética) y estar dispuesto a hacer algunos labor interpretativa!

Puede haber algo de sentido en la definición de p. ej. $f^{\circ 2}(x) = (f\circ f)(x)$, $f^{\cdot 2}(x) = (f(x))^2$, de manera similar a cómo definimos $f^{\otimes 2}(x) = (f\otimes f)(x)$ sobre un tensor cuadrados de espacios vectoriales $V^{\otimes 2}$, etc. He visto esta notación antes. Esto haría a la inversa de la función de $f^{\circ(-1)}(x)$ y el recíproco $f^{\cdot(-1)}(x)$. Pero esto es bastante feo, y casi me he visto nunca. A menos que usted tiene un montón de operaciones binarias como $\circ, \cdot, \otimes$ todo mentira y que necesitan explícitamente desambiguar entre ellos, me gustaría evitarlo. Use solo palabras. (Además de que, probablemente necesite usar palabras para decir a los lectores lo que su notación significa, porque es probablemente nuevo para ellos.)

Buena notación es como oro en polvo, pero hay que tener en cuenta que la mayoría de la notación es malo. No agregar a ella, si es posible. Acaba de hacer su propio trabajo tan legible como usted puede.

Answer 2

Estaba leyendo Tensor geometría no hace mucho tiempo y me encontré con una buena notación para el retroceso de un mapa,

Answer 3

La razón para los dos usos convencionales de $^{-1}$ es que lo que invertir escrito muy al igual. De hecho, en muchos casos, la composición de dos funciones que realmente está escrito exactamente como la multiplicación.

Por ejemplo, la multiplicación de matrices corresponde a la composición lineal de mapas, por lo que vemos a menudo compuesto lineal mapas escrito, uno junto a otro sin un símbolo entre, como si estamos multiplicando. Y cuando se trabaja con grupos de simetría, una composición de dos permutaciones es, a menudo, también por escrito por escrito por ellos, uno junto a otro sin un símbolo en el medio.

Así que, a ver cómo la composición de funciones a menudo se escribe como multiplicación, no es difícil ver por qué la composición de la inversa es también escribe de la misma manera como el inverso multiplicativo.

Me encantaría que haya una manera consistente para diferenciar entre los dos, pero no la hay. Por lo menos no utiliza ampliamente convención. También, en algunos casos, como en mis dos ejemplos anteriores, significa que usted tiene que decidir, cada vez que quieres invertir un objeto, si el objeto es una función compuesta, o un elemento de un grupo o monoid ser multiplicado, cuando en realidad, usted quiere ser ambos al mismo tiempo.

Answer 4

Supongamos que hemos establecido previamente, $f:U \rightarrow V$, entonces notación inequívoca para el inverso puede ser introducido por algo como «Let $g:V \rightarrow U$ ser el inverso del $f$.»

Notaciones estándar ya comprimen información, a veces al borde de la comprensibilidad. Intentar más compresión, no es una clara mejora a la comunicación.

Answer 5

Es un lindo sugerencia. Sin embargo, la idea de la actual notación trata de una forma abreviada conveniente $$f(f(x)) = f^2(x)$$ which allow easy "exponent" arithmetic like $$f^{-1}(f(f(x)) = f^{2-1}(x) = f(x).$$

Por lo que la actual notación también tiene algunas características útiles, que es la razón por la que fue inventado en el primer lugar.

Personalmente, trato de evitar la ambigüedad mediante la distinción $f^{-1}(x)$ que denota la inversa funcional de $f(x)^{-1}$ denota el inverso multiplicativo. Además, para las funciones trigonométricas se indicó, yo uso $\arcsin(x)$ en lugar de $\sin^{-1}(x)$, que tiene un adicional de utilidad en el análisis complejo, ya que puede indicar la rama principal limitación por $\mathrm{Arcsin}(x)$, lo que la distingue de la general...