Encuentre $\lim_{x\to \infty} \left[f\!\left(\sqrt{\frac{2}{x}}\,\right)\right]^x$ .

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea tal que $f''$ es continua en $\mathbb{R}$ y $f(0)=1$ , $f'(0)=0$ y $f''(0)=-1$ .

Entonces, ¿qué es $\displaystyle\lim_{x\to \infty} \left[f\!\left(\sqrt{\frac{2}{x}}\,\right)\right]^x?$

Cuando estaba resolviendo este problema, supuse $f(x)$ sea un polinomio de grado dos (porque $f''$ es continua), es decir $f(x)=ax^2+bx+c$ y los coeficientes encontrados con la ayuda de los valores dados . Obtuve $f(x)=\frac{-x^2}{2} +1$ . Después de resolver, encontré que el límite era $e^{-1}$ . Sé que este es un caso particular.

Preguntas

$1$ : ¿El límite será el mismo para todas las funciones con estas propiedades?

$2$ : Por favor, dame algún método que funcione para todos esos $f(x)$ .

$3$ : Quiero practicar más preguntas de este tipo, por favor dame algunas referencias, es decir, libros, libros de problemas, cualquier fuente en línea.

Cualquier tipo de ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

\begin {align*} & \lim_ {x \rightarrow\infty } \log\left (f \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right ) \right )^{x} \\ &= \lim_ {x \rightarrow\infty }x \log\left (f \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right ) \right ) \\ &= \lim_ {x \rightarrow\infty } \dfrac { \log\left (f \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right ) \right )}{ \dfrac {1}{x}} \\ &= \lim_ {x \rightarrow\infty } \dfrac { \dfrac {1}{f \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right )} \cdot f' \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right ) \cdot\dfrac {1}{ \sqrt { \dfrac {2}{x}}} \cdot - \dfrac {1}{x^{2}}}{- \dfrac {1}{x^{2}}} \\ &= \lim_ {x \rightarrow\infty } \dfrac { \dfrac {1}{f \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right )} \cdot f' \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right )}{ \sqrt { \dfrac {2}{x}}} \\ &= \lim_ {x \rightarrow\infty } \dfrac {f' \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right )}{f \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right ) \sqrt { \dfrac {2}{x}}} \\ &= \lim_ {x \rightarrow\infty } \dfrac {f'' \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right ) \cdot\dfrac {1}{ \sqrt { \dfrac {2}{x}}} \cdot - \dfrac {1}{x^{2}}}{ \dfrac {1}{ \sqrt { \dfrac {2}{x}}} \cdot - \dfrac {1}{x^{2}} \cdot f \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right )+ \sqrt { \dfrac {2}{x}} \cdot f' \left ( \sqrt { \dfrac {2}{x}} \right ) \cdot\dfrac {1}{ \sqrt { \dfrac {2}{x}}} \cdot - \dfrac {1}{x^{2}}} \\ &= \dfrac {-1}{1+0} \\ &=-1. \end {align*}

Answer 2

El problema se resuelve fácilmente tomando el logaritmo. Sea $2/x=t^2$ para que $t\to 0^{+}$ . Si $L$ es el límite deseado entonces por continuidad del logaritmo $\log L$ es igual al límite de la expresión $$x\log f\left(\sqrt{\frac{2}{x}}\right)=\frac{2}{t^2}\cdot\underbrace{\frac{\log f(t)}{f(t)-1}}_{\to 1 } \cdot(f(t)-1)$$ que es igual al límite de la expresión $$\frac{f(t)-f(0)-tf'(0)}{t^2/2}$$ que es igual a $f''(0)=-1$ mediante el teorema de Taylor (o una única aplicación de la regla de L'Hospital). Así, $L=1/e$ . Obsérvese que sólo necesitamos la existencia de $f''(0)$ y no su continuidad.

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Para practicar problemas de límites (o cualquier problema de matemáticas) este sitio es el mejor. Aquí se pueden hacer y responder preguntas. Para una breve discusión de las técnicas de evaluación de límites puedes consultar mi serie de blogs . En cuanto a los libros, siempre me refiero a mi libro de cálculo favorito Un curso de matemáticas puras por G H Hardy. Debería estar disponible en línea de forma gratuita.

Answer 3

Esta es una respuesta parcial a tu pregunta y no espero ningún voto positivo, sólo para facilitar la tarea:

Parece que para cualquier polinomio de grado igual o superior a $2$ esto funciona bien: $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...-\dfrac{x^2}{2}+1$

Cumple todas las condiciones exigidas por la pregunta:

$f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-1$

Podemos suponer que hay un montón de funciones que tienen esta forma, ya que esto puede ser representado por Ampliación de Taylor de otras funciones cuando $n \to \infty$ .

Answer 4

Pista: el límite es una forma indeterminada $[1^\infty]$ . Considere su logaritmo $$ x \log \left( f \left( \sqrt{\frac{2}{x}} \right)\right), $$ asumiendo que $f>0$ . Ahora deberías preguntarte cómo expandir el argumento del logaritmo como $x \to +\infty$ . Por supuesto, necesitará una ampliación de $f$ cerca de cero.

Entonces puedes intentar comparar el logaritmo con $x$ y espero obtener una conclusión.

Answer 5

Para $C^2$ funciones, tenemos el teorema de Taylor: $$ f(h)^x = [ f(0) + f'(0)h + f''(0)h^2/2 + o(h^2) ]^x, \quad (h\to 0)$$ Si se introducen los valores se obtiene \begin {align} f( \sqrt {2/x})^x &= \left [ 1 -x^{-1} + o(x^{-1}) \right ]^x \\ & = \left [ 1 -x^{-1} \right ]^x \frac { \left [ 1 -x^{-1} + o(x^{-1}) \right ]^x}{ \left [ 1 -x^{-1} \right ]^x} \\ &= \left [ 1 -x^{-1} \right ]^x \left [ 1 -o(x^{-1}) \right ]^x, \quad (x \to\infty ) \end {align} y $\lim_{x\to \infty}(1-o(x^{-1}))^x = 1$ por lo que en el límite $x\to \infty$ la respuesta es $e^{-1}$ . Las pruebas vinculadas sólo demuestran que $\lim_{x\to 0}(1-x^{-2}))^x = 1$ pero la mayoría de las pruebas, si no todas, deberían generalizarse.