Demostrar que el cierre de cada órbita de % de $T$es un subconjunto de $T$-invariante de X

Question

Que $X$ sea un espacio topológico y $T : X → X$ sea un Homeomorfismo. Demostrar que el cierre de cada órbita de % de $T$es un subconjunto de $T$-invariante de X (es decir, $T(\overline{O_T (x)}) =\overline{O_T (x)})$.

PF: Lo he probado

$O_T(x)={T^n(x): n\in \Bbb Z}$ es un conjunto invariante de la $T$. Ahora $T$ es Homeomorfismo lo $T$ conjunto cerrado a cerrado conjunto de $\Rightarrow \overline{O_T (x)} \subseteq T(\overline{O_T (x)})$.

Del mismo modo, desde $O_T(x)={T^n(x): n\in \Bbb Z}$ es un conjunto invariante $T^{-1}$, conseguimos inclusión inversa. Por lo tanto, estoy hecho derecho.

Answer 1

A la derecha, exactamente.

$O_T(x)= T^{-1}(O_T(x))\subseteq T^{-1}(\overline{O_T(x)})$, que $\ \overline{O_T(x)}\subseteq T^{-1}(\overline{O_T(x)})$, que implica
$T(\overline{O_T(x)})\subseteq \overline{O_T(x)}$.