¿Cómo exactamente se basa el formalismo de la termodinámica con la geometría de contacto?

Question

Hay una cita famosa por el matemático V. I. Arnold, que va como esto:

Cada matemático sabe que es imposible entender de una escuela primaria curso de termodinámica.

La fuente está en Contacto con la Geometría: el Método Geométrico para Gibbs,' la Termodinámica, y Se va como esta (la negrita es mía):

La razón es que la termodinámica se basa -como Gibbs ha explícitamente proclamada - en un lugar complicado teoría matemática, en contacto con la geometría.

A continuación, el autor comienza a explicar, me imagino, cómo la termodinámica puede ser rigurosamente formulado utilizando el formalismo de contacto de geometría. Digo "me imagino" porque tengo que admitir que tal formalismo es un poco demasiado oscuro para mí, y yo no tengo familiaridad con el concepto de "contacto de la geometría". Como cuestión de hecho, es la primera vez que oigo hablar de ella, y la definición de la Wikipedia da de esto es completamente ininteligible para mí...

Lo que me gustaría saber es, en términos accesibles a alguien con un "básico" formación matemática como yo (en su mayoría de cálculo): ¿cómo es exactamente el formalismo de la termodinámica basa en contacto con la geometría?

Answer 1

Aquí está el resultado:

1. Por un lado, una estricta en contacto con el colector de $(M,\alpha)$ $(2n+1)$- dimensiones del colector $M$ equipada con un definido globalmente de una forma $\alpha\in \Gamma(T^{\ast}M)$ que es máximamente no integrable $$\alpha \wedge (\mathrm{d}\alpha)^n~\neq~ 0.\tag{1}$$

   Es de interés para encontrar submanifolds $N\subseteq M$ tal que $TN\subseteq {\rm ker}(\alpha)\subseteq TM$. Tal submanifolds de la máxima dimensión [que resulta ser $n$-dimensional] son llamados Legendrian submanifolds.

2. Por otro lado, la primera ley de la termodinámica $$\mathrm{d}U~=~ \sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i \tag{2}$$ [donde $U$ es la energía interna y $(q^i, p_i)$ son termodinámico conjugar las variables] los rendimientos de un formulario de contacto $$\alpha~:=~\mathrm{d}U- \sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i.\tag{3} $$ Un concreto sistema termodinámico [con una ecuación de estado] se realiza como un Legendrian submanifold.

Referencias:

1. S. G. Rajeev, Una de Hamilton-Jacobi Formalismo de la Termodinámica, Anales. Phys. 323 (2008) 2265, arXiv:0711.4319.

2. J. C. Báez, de la Mecánica Clásica frente a la Termodinámica, parte 1 y parte 2, Azimut entradas de blog, de 2012.

Answer 2

en términos accesibles a alguien con un "básico" formación matemática como yo (en su mayoría de cálculo): ¿cómo es exactamente el formalismo de la termodinámica basa en contacto con la geometría?

Por lo que yo entiendo (poco), especialmente a partir de Báez y Grmela, una secuencia lógica de la termodinámica para el contacto de la geometría es:

• la termodinámica clásica
  -> formulación variacional (maximización de la entropía)
  -> la geometría diferencial (uno-formas)
  -> contacto de la geometría.

La geometría diferencial bits incluye una métrica de Riemann, y puede tomar la forma de la geometría simpléctica (para dimensiones de los colectores) o contacto de la geometría (por extraño dimensiones del colector).

Para aprender más:

• A partir de cálculo de nivel de matemáticas, Juan Denker propone la introducción de formas diferenciales y su aplicación a la termodinámica.

• Salamon et al., en La estructura matemática de la termodinámica, ofrecen lo que debe ser bastante suave introducción a contacto colectores en la termodinámica.

• A partir de formas diferenciales, Mrugala proporciona otra introducción a la asignatura en contacto y métrica de estructuras en termodinámica espacios (e-print).

Y no son muy relevantes las respuestas, discusiones, y las referencias en el antiguo preguntas:

Introducción a las formas diferenciales en la termodinámica
La geometría simpléctica en la termodinámica
Conjugar las variables de la termodinámica vs Hamiltoniana de la mecánica

Answer 3

Sospecho que usted está buscando un lugar más bajo-fi respuesta. Tal vez usted podría aclarar por qué este interés, para el contexto.

Mi sentido (no es mi física forte tbh) es que esto es acerca de cómo considerar los grandes conjuntos de la interacción de las cosas, con ciertos grados de libertad. Dicen que los átomos de helio pueden ser tratados como tener 3 grados (eje xyz), los átomos de hidrógeno como las moléculas de H2 tiene una manera adicional a girar y golpear (xyz + gire alrededor de un eje central), y así sucesivamente, por ejemplo. para tensión y compresión.

Porque la termodinámica se trata de mantener una cosa constante, mientras que el cambio de otras cosas, en un espacio matemático que encarna interacciones con ciertos grados de libertad, se va a generar superficies donde la demanda de las variables a ser constante se cumplen, o colectores.

El truco de la creación de un espacio matemático donde se puede identificar los patrones más fácilmente se utiliza mucho en la física. Como en la creación de la Lagrangiana o Hamiltoniano del sistema, que tipo de hervir cosas para el núcleo dinámico. O, el uso de variables complejas (número + un número imaginario contraparte) para mantener un seguimiento de los diferentes tipos de cosas, mientras que haciendo matemáticas en la combinación de ellos. Recuerdo que disfrutar el momento he entendido que usted puede tomar las ecuaciones de dos órbitas planetarias, y hacer una nueva ecuación que es como un corte a lo largo de las órbitas con puntos; a continuación, sólo gire la manija para mover el sector alrededor y ver si alguno de los puntos nunca se superponen, y si lo hacen los planetas finalmente chocan y las órbitas no son estables.

Matemática espacios son útiles. Grandes conjuntos de cosas que la interacción se reduce a la geometría. Por lo tanto en contacto con la geometría, con los colectores en la 'fase' o espacio matemático.