Ejercicio de Diffusions, Markov processes and martingales de Rogers y Williams

Question

Estoy atascado tratando de hacer un ejercicio (ver más abajo) en el primer volumen del libro de Rogers y Williams y cualquier ayuda sería genial (mi pregunta real está justo al final).

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Sea $E$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto con una base contable, sea $\cal{E}$ denota la sigma-álgebra de Borel en $E$ , $(C_0(E),||\cdot||)$ denotan el espacio de funciones continuas de valor real sobre $E$ que desaparecen en el infinito (con norma de supremacía) y $(\rm b \cal{E},||\cdot||)$ la de las funciones medibles acotadas de Borel sobre $E$ (de nuevo con norma de supremacía) . Una extensión del teorema de la representación de Riesz da lo siguiente

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Teorema 1 : Un funcional lineal acotado $\phi$ en $C_0(E)$ puede escribirse unívocamente de la forma

$$\phi(f)=\mu(f):=\int f(x)\mu(dx)$$

donde $\mu$ es una medida con signo en $E$ de variación total finita.

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Ejercicio : Derive el siguiente teorema del Teorema 1 utilizando el Teorema de la Clase Monótona.

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Teorema 2 : Supongamos que $V:C_0(E)\to \rm b\cal{E}$ es un operador lineal acotado tal que $0\leq f\leq 1$ implica $0\leq Vf\leq1$ . Entonces existe un núcleo único $N:E\times\cal{E}\to\mathbb{R}$ tal que

$i)$ para cada $x$ en $E$ y $f$ en $C_0(E)$ $$Vf(x)=Nf(x):=\int N(x,dy)f(y),$$

$ii)$ para cada $x$ en $E$ $N(x,\cdot)$ es una medida (no negativa) sobre $(E,\cal{E})$ tal que $N(x,E)\leq 1$ ,

$iii)$ para cada $B$ en $\cal{E}$ , $N(\cdot,B)$ es $\cal{E}$ -medible.

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Puesto que para cada $x$ en $E$ el mapa $f\mapsto Vf(x)$ es una función lineal en $C_0(E)$ El teorema nos da la medida firmada $\mu_x$ de variación total finita $\mu_x$ tal que $V f (x) = \mu_x(f)$ . Me parece que la forma de empezar es establecer $N(x,\cdot):=\mu_x(\cdot)$ para cada $x$ en $E$ para que $N$ satisface $i)$ . Pero a partir de ahí no estoy seguro de cómo proceder; mi reacción inmediata fue idear una forma de aproximar (con respecto a la norma supremum) $\rm b\cal{E}$ (en particular, funciones indicadoras) con $C_0(E)$ funciones. Entonces me di cuenta de que como $C_0(E)$ está completo, no podemos hacerlo. Además, el ejercicio dice explícitamente que se puede demostrar el Teorema 2 utilizando el Teorema de la Clase Monótona, así que hay algo que se me escapa.

¿Podría alguien por favor dar una pista sobre cómo proceder, tal vez lo que $\pi$ -y ¿en qué espacio de funciones debo pensar para aplicar el teorema de la clase monótona?

Answer 1

Siguiendo con el comentario de @saz, aquí va una prueba que parece funcionar (si he hecho alguna tontería y alguien me lo puede indicar, sería estupendo). Dejo la pregunta un poco abierta por si alguien pudiera publicar una prueba que utilice el Teorema de la Clase Monótona (me gustaría mucho ver una por razones pedagógicas).

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Para cada $x$ en $E$ , $f\mapsto(Vf)(x)$ define una función lineal acotada en $C_0(E)$ y por tanto por el Teorema 1 existe alguna medida finita $\mu_x$ tal que $\mu_x(f)=Vf(x)$ . Defina $N(x,\cdot):=\mu_x(\cdot)$ .

Tenemos que demostrar que para cada $x$ en $E$ , $N(x,\cdot)$ es una medida no negativa y menor o igual que $1$ . Elige cualquier subconjunto compacto $K$ de $\cal{E}$ . Desde $E$ es LCCB, es metrisable. Sea $d$ sea cualquier métrica que induzca la topología en $E$ . Desde $K$ es cerrada, existe una secuencia $(f_n)\subset C_0(E)$ tal que $f_n^m\to 1_{K}$ puntualmente y $0\leq f_n\leq 1$ . Por ejemplo

$$f_n(x):=\left\{\begin{array}{c l}1 &\text{if }x\in K\\ 1-n d(x,K)&\text{if }d(x, K)\leq 1/n\\ 0&\text{otherwise} \end{array}\right.$$

Desde $N(x,\cdot)$ es finito para cada $x$ podemos aplicar el teorema de convergencia acotada para obtener que

$$N(x,K)=\int N(x,dy)1_{K}=\int N(x,dy)\lim_{n\to\infty}f_n=\lim_{n\to\infty}\int N(x,dy)f_n=\lim_{n\to\infty}(Vf_n)(x).$$

Desde $V f_n$ es $\cal{E}$ -medible, lo anterior demuestra que $N(\cdot,K)$ es el límite puntual de una secuencia de $\cal{E}$ -y, por tanto $\cal{E}$ -medible en sí mismo (es decir, $N(x,K)$ satisface $iii)$ ). Sea $\cal{H}$ sea el conjunto de funciones $f:E\to\mathbb{R}$ tal que $N f$ es $\cal{E}$ -medible. Por lo tanto $\cal{H}$ es cerrado bajo límites puntuales, combinaciones lineales y acabamos de argumentar que $1_k\in \cal{H}$ para cada compacto $K$ . Dado que los conjuntos compactos generan $\cal{E}$ el Teorema de la Clase Monótona implica que $\cal{H}$ contiene todos los $\cal{E}$ -y, en particular $1_B$ para cada $B$ en $\cal{E}$ . Por lo tanto $iii)$ retenciones.

Desde $V$ es lineal y acotado es continuo, por lo que lo anterior combinado con las suposiciones sobre $V$ implica que $0\leq N(x,K)\leq 1$ .