Cómo puedo demostrar que: Si $X$ es compacto, entonces cualquier mapa de $f\colon X \to Y$ es adecuada?

Question

Un mapa continuo $f\colon X \to Y$ local de espacios compactos es llamada correcto si por cualquier compacto $C\subset Y$ la preimagen $f^{-1}(C)$ es compacto. Mi pregunta es: ¿Cómo puedo demostrar que: Si $X$ es compacto, entonces cualquier mapa de $f\colon X\to Y$ es adecuada?

Answer 1

Sugerencia: Suponga $Y$ a ser hausdorff. A continuación, utilizar ese preimages bajo un mapa continuo de cerrado de los subconjuntos cerrados.

Como se ha señalado por StefanH. y Martin en los comentarios, lo que realmente necesita es compacto subconjuntos de a $Y$ a ser cerrado en el mismo, que tiene en espacios de hausdorff. Localmente compacto espacios son generalmente supone ser hausdorff.

He aquí un ejemplo en el que el criterio de falla si $Y$ si subconjuntos compactos de $Y$ no son necesariamente cerrado:

Tome $Y = \{0,1\}$ con la topología trivial. Y deje $f : [0..1] → Y$ ser el indicador de la función en $(0..1)$. Desde el abierto sólo los subconjuntos de a $Y$ $∅$ $Y$ sí, claramente $f$ es continua, sino $f^{-1}(\{1\}) = (0..1)$ no es compacto, mientras que los únicos son definitivamente compacto.

Answer 2

Asumiendo $Y$ es Hausdorff, si $C$ es compacto, entonces es cerrado. Por lo $f^{-1}(C)$ es cerrado y cualquier subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.