Cambiar los límites de integración en una difícil integral

Question

Tengo el siguiente integral:

$$\int_0^1 \int_0^{y^5} 7y^8 e^{xy^2} \, dx \, dy$$

Traté de dibujar una imagen y la búsqueda de nuevos límites de la integración, sino la integral era todavía difícil de resolver, lo que significa que mi nueva límites estaban equivocados.

Se agradece la ayuda.

Answer 1

Integrando con respecto a x nos da: $$ \int_0^1 7y^8\cdot y^{-2}e^{xy^2} dy |_{x=0} ^{x=y^5} $$

$$ \int_0^1 7y^6 (e^{y^5\cdot y^2} - 1) dy $$

$$ \int_0^1 7y^6 (e^{y^7} - 1) dy $$

Y a partir de ahí encontrar la respuesta por simple subsitution de $u = y^7$

$$ \int_0^1 (e^{u} - 1) du $$

$$ (e^{y^7} - y^7) |_{y=0}^{y=1} $$ $$ = e-2 $$

Answer 2

$$ \int_0^{y^5} 7y^8 e^{xy^2} \, dx = \left. 7y^8 \frac {e^{xy^2}}{y^2} \right|_{x\,:=\,0}^{x\,:=\,y^5} = 7y^6 e^{y^7} - 7y^6. $$ $$ \int_0^1 e^{y^7} \big( 7y^6 \, dy \big) = \int_0^1 e^u\,du, \qquad \int_0^1 7y^6\,dy = 1. $$ De los límites en que la primera integral no cambian porque al$y=0,1$, respectivamente, $u=0,1.$

Answer 3

Hacer esta integral iterada significa la realización de la integración en $x$ primer y el tratamiento de la $y$ como una constante y, a continuación, haciendo la integral para $y$. Aviso, que puede tirar de la $7y^8$ $x$ integral y hacer una $u-$de sustitución con lo que queda($u=xy^2$). Usted puede cambiar las condiciones de frontera de$x$$u$. Una vez completado este paso, usted tiene otro $u-$sub queda por hacer.