Demostrando que $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^k}{2^n}=0$

Question

Necesito demostrar \mathbb{N}$ $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^k}{2^n}=0$$ where $k\in. Todo me ocurre es usar algo como regla de L'Hopital pero me supongo que debe haber otra manera más simple. Le agradeceria mucho si alguien podria darme un toque. Gracias

Answer 1

Sugerencia 1:-

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{n^k}{2^n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left( \dfrac{n}{2^{\frac{n}{k}}}\right)^k$

Sugerencia 2:-

$U_n=\dfrac{n^k}{2^n} \implies \displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k=\dfrac{1}{2}<1$

$\therefore \displaystyle\lim_{n\to \infty}U_n=0$

Answer 2

Aquí un poco de la rotonda (pero relativamente primaria) enfoque. Fix $k\in\Bbb N$ y deje $a_n:=\frac{n^k}{2^n}.$ Observa que $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac12\left(1+\frac1n\right)^k.$$ Show that there is some $N\in\Bbb, N$ (dependent on $k$) such that $\left(1+\frac1n\right)^k<2$ whenever $n\ge N.$ Since each $a_n>0,$ and since $n\mapsto\left(1+\frac1n\right)^k$ is a decreasing function, then there is some $0<c<1$ such that for $n\ge N$ we have $\left(1+\frac1n\right)^k<2c,$ whence $a_{n+1}<ca_n$ for $n\ge N.$ Inductively, $0<a_{N+m}<c^ma_N$ for all $m\in\Bbb N.$ Aplicar el Teorema del sándwich.

Déjeme saber si usted tiene problemas para justificar cualquiera de estos pasos.

Answer 3

Tenemos $$2^n = e^{n\ln2} = \sum_{l=0}^{\infty} \dfrac{(n\ln2)^l}{l!} \geq \dfrac{(n \ln2)^{\lfloor k\rfloor+1}}{(\lfloor k\rfloor+1)!}$$ Por lo tanto, $$\dfrac{n^k}{2^n} \leq \dfrac{(\lfloor k \rfloor+1)!}{\left(\ln(2)^{\lfloor k \rfloor+1}\right)} \dfrac1{n^{\lfloor k \rfloor-k+1}} \to 0$$