Es posible encontrar la integral indefinida de $\int \frac{1} {{\sin(x)+\sec^2(x)}}\mathrm{d}x$?

Question

Estoy en el estándar de $XI$ (i.e.11) y novato en el aprendizaje del tema de la integración. Mi amigo me pidió que encontrar la integral indefinida de el ejemplo que se muestra a continuación

$$y=\int \frac{1} {{\sin(x)+\sec^2(x)}} \, \mathrm{d}x \tag 1$$

Lo que he intentado hasta ahora se me hace la sustitución como $m=\sin(x)$

$$\frac{\textrm{d}m}{\textrm{d}x}=\cos(x)$$

Ahora, la conversión de la ecuación de $(1)$ en términos de $m$ se convierte como

$$y=\int \frac{(1-m^2)^{1/2}} {{1+m(1-m^2)}} \, \mathrm{d}m$$

pero como usted puede ver que esto se hizo más complicada que la ecuación original $(1)$

Así que ¿alguien puede ayudarme a calcular la integración de $\int \frac{1} {\sin(x)+\sec^2(x)} \, \mathrm{d}x$ ?

Answer 1

Con la costumbre de la tangente de la mitad de ángulo de sustitución, $x=2\arctan t$, la integral se convierte en: $$ I = 2\int \frac{(1-t^2)^2}{1+2t+3t^2-4t^3+3t^4+2t^5+t^6}\,dt\tag{1}$$ Así que, suponiendo que sabemos que las raíces del polinomio $p(t)=1+2t+3t^2-4t^3+3t^4+2t^5+t^6$, podemos resolver la integral anterior a través de la fracción parcial de la descomposición. Que el polinomio es palyndromic, así que si $\zeta$ es una raíz, $\frac{1}{\zeta}$ es una raíz, demasiado, y el problema original se reduce a la búsqueda de las raíces de un tercer grado del polinomio.

Por ejemplo, mediante la sustitución de $t+\frac{1}{t}$$u$,$u$$2v$, obtenemos: $$ I = 2\int\frac{\sqrt{u^2-4}}{u^3+2u^2-8}\,du = \int \frac{\sqrt{v^2-1}}{v^3+v^2-1}\,dv\tag{2}$$ y por la sustitución de $v$ $\cosh z$ tenemos: $$ I = \int \frac{\sinh^2 z}{\cosh^3 z+\cosh^2 z-1}\,dz. \tag{3}$$ De todos modos, desde el discriminante de $v^3+v^2-1$$-23$, la forma cerrada de $(1)$ no es agradable en absoluto.