Resolución ODE rigurosamente

Question

Me da la educación a distancia

$$(f''(r)+\frac{f'(r)}{r})(1+f'(r)^2)-f'(r)^2f''(r)=0$$

y quiere resolverlo con rigor para $r>0.$, de Modo especial, no quiero perder nada de soluciones.

$\textbf{Derivation of the solutions}$ En primer lugar me multiplicar por $r$

$$(rf''(r)+f'(r))(1+f'(r)^2) =rf'(r)^2f''(r)$$

que no es sino

$$\frac{d}{dr}(rf'(r))(1+f'(r)^2) =rf'(r)^2f''(r)$$

ahora asumiendo $f'(r) \neq 0$ (Problema 1), podemos reescribir esto como

$$\frac{1}{r f'(r)} \frac{d}{dr}(rf'(r)) = \frac{f'(r)f''(r)}{1+f'(r)^2}$$

Asumiendo $f'(r)>0$ (Problema 2) obtenemos

$$\frac{d}{dr}\ln(rf'(r)) = \frac{1}{2} \frac{d}{dr} \ln(1+f'(r)^2)$$

que se da después de la integración de

$$\ln(r^2f'(r)^2) = ln(1+f'(r)^2)+C$$ for some constant $C.$

Exponentiating esto le da

$$r^2 f'(r)^2 = \underbrace{e^C}_{=:C_1^2>0} (1+f'(r)^2).$$

o, alternativamente,

$$f'(r)^2(r^2-C_1^2) = C_1^2$$

Problema (3) $r \neq C_1$ y Problema (4) (teniendo en $\pm$)

$$f'(r) = \frac{ \pm C_1 }{\sqrt{r^2-C_1^2}} = \frac{ \pm 1 }{\sqrt{\frac{r^2}{C_1^2}-1}}$$

La integración da, a continuación, $f(r) = \pm C_1 \cosh^{-1} (\frac{r}{C_1})+d$ donde $d$ es arbitrario y $C_1 >0.$

$\textbf{Regarding the problems:}$ Ahora, quiero saber si me puede deshacerse de los 4 problemas (pequeñas imprecisiones en la manera en que yo soy la solución de este ODE.)

Sobre el problema 1: La pregunta es: ¿realmente tengo que asumir $f'(r) \neq 0$ o puedo evitar que esto de alguna manera?

Sobre el problema 2: Si asumo $f'(r)<0$ somwhere, es bastante obvio que podemos reescribir el lado izquierdo como $$\frac{1}{-rf'(r)} \frac{d}{dr}(-rf'(r)) = \ln(-rf'(r))$$ which would be well-defined now. Now, since we eventually square the argument of the $\ln $anyway (two equations below the statement of the problem in the derivation), we see that even for $f'(r)<0$ we would end up with the same equation as for $f'(r)>0$. Por lo tanto, el problema (2) aparentemente no es un problema.

Problema 3: ¿Es realmente necesario asumir $ r \neq C_1$? Supongo que sí, ya que de lo contrario obtendríamos $0=f'(r)^2(r^2-C_1^2) = C_1^2=r^2$ lo cual es una contradicción a $r \neq 0.$ Estoy en lo cierto?

Problema 4: no me gusta esta $\pm $ no, ya que podría ser que una solución tiene aspectos tanto positivos como negativos $f'(r)$, por lo que la forma de escribir la solución no es que el general.

Answer 1

Permite un enfoque ligeramente diferente (en archivo adjunto): $$f(r)=\frac{1}{c_1}\ln \left| c_1r \pm \sqrt{c_1^2r^2-1}\right|+c_2$ $ que incluye todas las soluciones reales, no olvidar $f(r)=c_2$ % límite $c_1 \rightarrow \infty.$

Answer 2

Problema 1. Observar a partir de la primera ecuación que una constante $f$ es una solución. Ahora si $f$ no es constante, a continuación, $f'(r) \ne 0$ algunos $r>0$ y, por tanto, $f'(s) \ne 0$ todos los $s$ en algún intervalo abierto $J$ contiene $ r$. Así que proceder a trabajar en la más grande posible, dichas $J$ encontrar el las consecuencias de un no-constante $f$. Problema 2 no es un problema. En el lado izquierdo de la ecuación justo debajo de su mención del Problema 2, cambie$\ln(r f'(r))$$\ln|r f'(r)|$) y la ecuación es válida si $f'(r)$ es positivo o negativo.Problema 3 es que se han deducido que el dom$(f) \subset (C_1, \infty)$ algunos $C_1 > 0$, de lo contrario la línea por encima de la mención del Problema (3) es falsa.Así (refiriéndose a Problema 1) sabemos que $J \subset (C_1, \infty)$ algunos $ C_1>0$. . Problema 4 no es un problema como se puede ver en la ecuación original, que si $f$ es una solución, así es $(-f)$. Finalmente, las soluciones de obtener implica que $J=(C_1, \infty)$ por el maximality de $J$. (Tenga en cuenta que $f'(r) \ne 0$ $r>C_1$ para estas soluciones.) Espero que esto no es demasiado confusa.