Estoy aprendiendo algunos categoría de la teoría a la que me ayude con mi área de investigación. Estoy tratando de familiarizarse con la noción de contigüidad. En algunos libros he de ver a los autores demostrando que dos functors formar una contigüidad con solo un comentario, y esto es algo que me resulta un poco difícil de seguir. Voy a dar un ejemplo. Supongamos que $\mathcal{E}$ es un topos con pequeñas colimits y considerar los functors $$\Gamma:\mathcal{E}\to \mathbf{Set},\\ \Gamma E=\text{Hom}_{\mathcal{E}}(1,E)$$ and $$\Delta:\mathbf{Set}\to \mathcal{E},\\ \Delta S=\coprod_{s\in S} 1$$ El autor dice que "morfismos $\Delta S\to E$ $\mathcal{E}$ claramente corresponden a las funciones $S\to \Gamma E$ de los conjuntos, por lo que este functor $\Delta$ que queda adjunto a $\Gamma$". Sé que esta correspondencia es lo que necesita ser demostrado tener una contigüidad, pero como es tan obvio que la correspondencia se mantiene? He encontrado muchas situaciones como esta antes...es probablemente algo que ver con mi madurez en matemáticas en esta área, pero cualquier ayuda sobre cómo buscar correctamente en esto sería muy apreciada.
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Para que esto sea obvio, debe saber que la izquierda adjoints preservar colimits. Teniendo en cuenta que, simplemente observar que cada conjunto de $S$ puede ser expresado como un coproductos, viz $\coprod{s \in S} 1$. Coproductos son colimits, así que si $\Delta : \mathbf{Set} \to \mathcal{E}$ es un adjoint izquierdo, entonces debemos tener $\Delta S \cong \coprod{s \in S} \Delta 1$; y si $\Delta$ es un adjoint izquierdo a $\Gamma$, entonces debemos tener $$\mathbf{Set} (1, \Gamma E) \cong \mathcal{E} (\Delta 1, E)$ $ pero $\mathbf{Set} (1, -) \cong \mathrm{id}$, que $$\mathcal{E} (1, E) \cong \mathcal{E} (\Delta 1, E)$ $ y por lo tanto $\Delta 1 \cong 1$.
Mi único Consejo es: no trate de aprender topos teoría sin primer ser cómodo con la teoría de la categoría general.
Esto no es realmente especial a topoi. Sólo tienes que recordar la definición de un coproductos. Implica $$\hom\mathcal{E}(\Delta S,E)=\prod{s \in S} \hom(1,E).$ $ y por la definición de un producto de conjuntos, esto identifica con % $ $$\hom{\mathsf{Set}}(S,\hom(1,E)).$hecho. Más generalmente, si $\mathcal{E}$ es una categoría con coproductos y $X \in \mathcal{E}$ es cualquier objeto, que $\mathsf{Set} \to \mathcal{E}, ~S \mapsto \coprod{s \in S} X$ $\hom_\mathcal{E}(X,-) : \mathcal{E} \to \mathsf{Set}$ (el copower) queda adjunto.
Esta afirmación generalmente significa que verificar los detalles es rutinario y sencillo (es decir, los pasos a seguir son claros y no hay nada listo para establecer el resultado). Con el tiempo, aprenderás a acuerdo con esas declaraciones y en algunos casos hacer rápidamente la prueba mentalmente. Por ahora, si usted realmente desea entender lo que está sucediendo, realmente llevar a cabo la prueba.
