Mostrando $n \mid \frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}$

Question

Deje $x,y$ $n$ ser enteros positivos tales que a $n \mid (x^{n}-y^{n})$. ¿Cómo puedo demostrar que $\displaystyle n \mid \frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}$.

Lo mejor sería mostrar los si $p^{k}\| n$,$p^{k}\mid \frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}$. Esto parece demasiado complicado.

Answer 1

SUGERENCIA

Sabemos que $x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2} y + … + x y^{n-2} + y^{n-1})$

Vamos a probar esto: si $p^k\mid(x-y)$, $p^k \mid (x^{n-1} + x^{n-2} y + … + x y^{n-2} + y^{n-1})$ donde $p^k \mid n, p$ es primo, $k$ es un entero positivo. De hecho, tenemos $x\equiv y \pmod{p^k}$ $(x^{n-1} + x^{n-2} y + … + x y^{n-2} + y^{n-1}) \equiv nx^{n-1}\equiv 0 \pmod {p^k}$ porque $p^k \mid n$.