Muéstrame eso: $ \inf (A+B) = \inf (A)+ \inf (B)$

Question

Deje que $A,B$ ser subconjuntos no vacíos y delimitados de $R$ y $A+B=\{a+b:a \in A,b \in B\}$ . Muestra eso: $$ \inf (A+B)= \inf (A)+ \inf (B)$$

Esto es lo que he intentado:

Supongamos que $x \in A+B \Rightarrow x=a+b, \ a \in A, \ b \in B$ . Sabemos que $a \geq \inf A \text { and } b \geq \inf (B)$ . Así que $x \geq \inf (A)+ \inf (B) \Rightarrow\inf (A+B) \geq \inf (A)+ \inf (B)$

Si $x \in A \Rightarrow x \in A+B, \text { so we conclude that } \inf (A) \leq \inf (A+B)$ y si $x \in B \Rightarrow x \in A+B, \text { so we conclude that } \inf (B) \leq \inf (A+B)$ . Por lo tanto, tenemos que $ \displaystyle \frac { \inf (A)+ \inf (B)}{2} \leq \inf (A)+ \inf (B) \leq \inf (A+B)$ .

¿Podría decirme si es correcto?

Answer 1

Su prueba para $ \inf (A+B) \ge \inf A+ \inf B$ tiene razón.

Para la otra dirección. Para cualquier $ \delta >0$ existen $a \in A, b \in B$ s.t. $a< \inf A+ \delta $ y $b< \inf B+ \delta $ Entonces $a+b< \inf A+ \inf B+2 \delta $ Por lo tanto $ \inf (A+B) \le \inf A+ \inf B+2 \delta $ . Deje que $ \delta $ ir a cero.

Answer 2

Probaré un pequeño lema.

Si $x,y$ y $a$ sean números reales arbitrarios de tal manera que la desigualdad $a \leq x \leq a+ \frac {y}{n}$ se mantiene para todos los números enteros $n \geq 1$ Entonces $x=a$ .

Esto es porque si $x>a$ entonces el número $ \frac {y}{x-a}$ sería un límite superior para el conjunto de números enteros positivos, lo que no es el caso.

Ahora, usted se ha probado a sí mismo que $ \inf (A+B) \geq \inf (A)+ \inf (B)$ .
Observe también que para cualquier número entero positivo $n$ , $ \exists a \in A$ de tal manera que $a \leq \inf (A)+ \frac {1}{n}$ y $ \exists b \in B$ de tal manera que $b \leq \inf (B)+ \frac {1}{n}$ .(¿Por qué?)
Por lo tanto, tenemos $ \inf (A+B) \leq a+b \leq \inf (A)+ \inf (B)+ \frac {2}{n}$ $ \forall n \in \mathbb N$
Así que tenemos $ \inf (A)+ \inf (B) \leq \inf (A+B) \leq \inf (A)+ \inf (B) + \frac {2}{n}$ para todos los números enteros positivos $n \geq1 $ . Así, a partir del lema, nos vemos obligados a concluir que $ \inf (A+B)= \inf (A)+ \inf (B)$ .