Una pregunta sobre el invariante de Gromov-Witten

Question

¿Los invariantes de Gromov-Witten cuentan los morfismos de una curva a una variedad sobre $\mathbb{C}$?

Answer 1

Para calificar aún más el sí de Charles: que estos espacios de módulos sean orbífonos en lugar de variedades resulta en números racionales, pero esto es bastante natural y no es realmente un problema. Los orbífonos aquí simplemente resultan porque estamos contando cosas que tienen automorfismos, aquí, por ejemplo, el mapa de P^1 a P^1 dado por el polinomio z^d tiene Z_d como sus automorfismos: podemos multiplicar un punto en P^1 por una raíz d-ésima de la unidad y no cambiar hacia dónde se mapea). Siempre que cuentas cosas con automorfismos, es bastante natural contar cada cosa ponderada por 1/(el tamaño de sus grupos de automorfismos), o rigidificar las cosas que estamos contando agregando algún tipo de estructura adicional para que ya no tengan automorfismos.

Como ejemplo: la fórmula de Cayley que dice que hay n^(n-2) árboles en n vértices etiquetados - la etiqueta de los vértices garantiza que los objetos que estamos contando no tienen automorfismos, y obtenemos un número entero - hemos rigidificado el problema. Si quisiéramos contar el número de árboles en n vértices no etiquetados, el problema es mucho más difícil. Sin embargo, si ponderamos cada árbol de este tipo por el inverso de su grupo de automorfismos, entonces el problema tiene nuevamente una respuesta clara: simplemente es n^(n-2)/n!. Mi punto es: la racionalidad no es la parte fea de lo que está sucediendo.

Lo feo es que estos espacios de módulos de mapas ni siquiera son orbífonos: tienen singularidades mucho peores y pueden tener diferentes componentes de diferentes dimensiones. Desde la teoría de deformaciones, esperamos que estos espacios de módulos tengan cierta dimensión. Para obtener un número finito, imponemos condiciones en el mapa que reducen esta dimensión hasta que sea cero. Geométricamente, debes pensar en cada una de estas condiciones como un ciclo en el espacio de módulos, y queremos intersecarlos. Hacer esta intersección de manera ingenua no funciona cuando el espacio es singular, y además el espacio de módulos podría ser suave pero tener una dimensión diferente a la que esperábamos. Pero mucho trabajo duro muestra que estos espacios tienen una "clase fundamental virtual" de la dimensión que esperamos, y usando esto podemos proceder como antes para obtener un número. Pero al hacer esto, hemos perdido la idea de que estamos contando algo.

Pero me parece que quizás eso no es necesariamente lo que el interrogador estaba buscando; más típicamente esto se hace para variedades suaves, proyectivas de C, pero de alguna manera la parte que realmente importa es la estructura simpléctica: los invariantes de Gromov-Witten se pueden definir para cualquier variedad simpléctica - todas tendrán estructuras casi complejas J que "juegan bien" con la forma simpléctica omega, y estamos "contando" estos mapas. O: todo esto funciona para orbífonos (que son realmente objetos suaves), pero no para espacios singulares.

La parte sobre $\mathbb{C}$ es bastante necesaria, creo - la gente ha investigado un poco en hacerlo en característica positiva, pero un gran problema es que el asunto de los orbífonos, que acabo de decirte que no es realmente un problema, puede ser un gran problema en característica positiva si el orden de tus automorfismos no es coprimo con la característica.

Answer 2

HYYY, la respuesta es calificado de "sí". Yo no soy un experto (leído un par de artículos en el comienzo del año, antes de decidir que la geometría enumerativa no iba a ser mi área), y sé que la respuesta es un sí definitivo para la racional curvas en espacios homogéneos. Sin embargo, de manera más general, la Kontsevich espacio de moduli de la estabilidad de los mapas no es una variedad, sino simplemente una orbifold, y así ha racional cohomology pero no integral. Para obtener los números racionales. Peor aún, si sus curvas no son rígidos, que podría contar negativamente, por lo que habrá racional y negativo de Gromov-Witten invariantes, en general.

Este documento es una introducción muy buena, y funciona a la primera gran teorema de que GW invariantes demostrado, en un caso en el que lo hacen, de hecho, el recuento de las curvas.