Demostrar que una función es constante dada una condición en una integral

Question

Supongamos que $h : [a,b]\to\mathbb{R}$ es una función continua y $$ \int_{a}^{b}h(x)g'(x)dx = 0$$ para todos $g \in \mathcal{C}^{1}[a,b]$ con $g(a) = g(b) = 0$ . Demostrar que $h$ debe ser una función constante.

He utilizado la integración por partes para conseguir

$$ 0 = \int_{a}^{b}h(x)g'(x)dx = -\int_{a}^{b}h'(x)g(x)dx $$

pero no estoy seguro de lo que esto significa o si es siquiera un enfoque relevante. Espero con interés cualquier sugerencia o consejo.

Answer 1

Desde $h\in C[a,b]$ entonces es integrable en $[a,b]$ . Sea $\phi(x)$ sea la función

$$\phi(x)=\int_a^x h(t)\,dt-\frac{(x-a)}{b-a}\int_a^bh(t)\,dt$$

Entonces, $\phi\in C^1[a,b]$ y $\phi(a)=\phi(b)=0$ .

Además, tenemos $\phi'(x)=h(x)-\frac{1}{b-a}\int_a^b h(t)\,dt$ .

Por lo tanto, como tenemos $\int_a^b h(x)g'(x)\,dx=0$ para todos $g\in C^1[a,b]$ con $g(a)=g(b)=0$ entonces podemos seleccionar $g(x)=\phi(x)$ y escribir

$$\begin{align} \int_a^b h(x)g'(x)\,dx&=\int_a^b h^2(x)\,dx-\frac{1}{b-a}\left(\int_a^b h(x)\,dx\right)^2\\\\ &=0 \end{align}$$

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Pero desde el Desigualdad de Cauchy-Schwarz ,

$$\left(\int_a^b h(x)\,dx\right)^2\le (b-a)\int_a^b h^2(x)\,dx $$

con igualdad si y sólo si $h(x)$ y $1$ son linealmente dependientes, lo que implica aquí que $h$ es constante.

¡Y ya está!

Answer 2

Elijamos una función $g$ tal que $$g'(x) = h(x) - k$$ para alguna constante convenientemente elegida $k$ tal que $g(a) =g(b) =0$ . Entonces podemos ver que $$\int_{a}^{b} (h(x) - k) ^{2}\,dx=\int_{a}^{b}h(x)g'(x)\,dx - k\int_{a} ^{b} g'(x) \, dx = 0$$ Ahora se deduce de la continuidad de $h(x) $ que $h(x) = k$ para todos $x\in[a, b] $ .

La prueba está ahora completa si podemos elegir una constante $k$ cumplir con el requisito $g(a) =g(b) =0$ . Está claro que podemos tomar $$g(x) =\int_{a} ^{x} h(t) \, dt - kx + c$$ y luego resolver para $k, c$ utilizando $g(a) = g(b) = 0$ . Obtenemos $$ka=c, kb=c+\int_{a} ^{b} h(t) \, dt$$ para que $$k=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}h(t)\,dt,c=\frac{a}{b-a}\int_{a}^{b}h(t)\,dt$$ y por lo tanto $$g(x) =\int_{a} ^{x} h(t) \, dt - \frac{x-a} {b-a} \int_{a} ^{b} h(t) \, dt$$ Esto explica la génesis de la función $\phi(x) $ de la respuesta del Dr. MV.