fpqc la respuesta es absolutamente bien! Pero quiero señalar otra solución que funciona en este caso.
En lo que sigue, $K, L \subseteq \overline{\mathbf Q}$ son linealmente disjuntos número de campos, por lo que tenemos un isomorfismo canónico $K \otimes_{\mathbf Q} L \cong KL$.
Reclamo: Bajo estas hipótesis, el discriminante $\mathfrak d_{KL}$ divide $\mathfrak d_K^s\mathfrak d_L^r$ donde$s=[L:\mathbf Q]$$r=[K:\mathbf Q]$. Por otra parte, si el discriminantes $\mathfrak d_K$ $\mathfrak d_L$ son relativamente primos en $\mathbf Z$,$\mathfrak d_{KL} = \mathfrak d_K^s\mathfrak d_L^r$, y la inyección canónica de $\mathbf Z$-módulos de $\mathcal O_K \otimes_{\mathbf Z} \mathcal O_L \hookrightarrow \mathcal O_{KL}$ es un isomorfismo (en particular, las bases para $\mathcal O_K$ $\mathcal O_L$ dar una base de $\mathcal O_{KL}$ en la forma obvia).
Prueba: (Con A. Fiori) Deje $M$ ser la imagen de $\mathcal O_K \otimes_{\mathbf Z} \mathcal O_L$$\mathcal O_{KL}$. A continuación, $M$ es de un orden de $\mathcal O_{KL}$. Si $x=ab \in \mathcal O_{KL}$ es la imagen de un puro tensor $a \otimes b$, entonces la traza de la forma en $KL$ actúa en $x$ $T_{KL}(ab) = T_{K}(a) T_{L}(b)$ (para probar esto, reducir, para el caso en que $K$ $L$ son Galois y el uso de la canónica de isomorfismo $\text{Gal}(KL/\mathbf Q) \simeq \text{Gal}(K/\mathbf Q) \times \text{Gal}(L/\mathbf Q)$ proporcionado por lineal disjointness). En otras palabras, $T_{KL}$ actúa en $M$$T_K \otimes_\mathbf Z T_L$. Mediante la selección de una base $\{a_1, \dots, a_r\}$$\mathcal O_K$$\{b_1, \dots, b_s\}$$\mathcal O_L$, se deduce que la matriz de $T_{KL}$ $M$ es el producto de Kronecker de las matrices para$T_K$$T_L$, y por tanto su determinante es $\mathfrak d_K^s\mathfrak d_L^r$. De ello se desprende que $\mathfrak d_{KL}$ divide $\mathfrak d_K^s\mathfrak d_L^r$. Considerando las torres de $\mathbf Q \subseteq K \subseteq KL$$\mathbf Q \subseteq L \subseteq KL$, sabemos también que a $\mathfrak d_{KL}$ es divisible por $\mathfrak d_K^s$$\mathfrak d_L^r$, de ahí la afirmación de que $\mathfrak d_{KL} = \mathfrak d_K^s\mathfrak d_L^r$ si $\mathfrak d_K$ $\mathfrak d_L$ son coprime. De ello se deduce que en este caso se $M=\mathcal O_{KL}$.
(Esto se aplica en ambos casos (a) y (b), ya que el discriminantes se $m$ $n$ en el primer caso, y $m$ $4n$ en el segundo, que son relativamente primos porque $m$$n$, y debido a $m$ es impar.)
