Criterio de la integral de cierre de un dominio en un campo finito extensión en un finitely generado álgebra

Question

$A$ es una parte integral de dominio, $K=\operatorname{Frac}A$, $L/K$ finito de extensión de campo (no necesariamente separable), $B$ es la integral de cierre de $A$$L$.

Pregunta: con algunas condiciones adicionales en $A$, se puede deducir que $B$ es una f.g. $A$-álgebra ?

Algo como $A$ noetherian e integralmente cerrado y $L/K$ finito separables basta. También la integral de cierre de una excelente anillo de $A$ en una extensión finita $L/K$ es finita $A$-módulo. Pero estos hacen de $B$ f.g. $A$-módulo de modo que podría ser demasiado fuerte.

Answer 1

Deje $B$ integral $A$-álgebra (es decir, $B$ es un anillo, $A$ es un sub-anillo de $B$, y cada elemento de a $B$ satisface una monic polinomio con coeficientes en $A$). A continuación, $B$ es finitely genera como una $A$-módulo de si, y sólo si se finitely genera como una $A$-álgebra. Esto no requiere de otros supuestos en los anillos con la excepción de que ser conmutativo con 1.

Prueba:

Supongamos que $B=A[x]$, e $x$ tiene un mínimo de polinomio $x^n+a_1x^{n-1}+\ldots a_0$. A continuación, $B=\sum_{i=0}^{n-1}Ax^i$ debido a que cada elemento puede ser formalmente dividido por el polinomio mínimo de a $x$. Por lo tanto $B$ es un finitely generadas $A$-módulo. Supongamos ahora que hemos demostrado que esta para $r-1$ variables (generadores del álgebra, obviamente no trascendental de los elementos, debido a que $B$ integral $A$), y que $B=A[x_1,\ldots,x_r]=A[x_1,\ldots,x_{r-1}][x_r]$. A continuación, $B$ es generado por algún $y_1,\ldots,y_m$ $A[x_1,\ldots,x_{r-1}]$ $A[x_1,\ldots,x_{r-1}]$ es generado por algún $z_1,\ldots,z_k$$A$, por la hipótesis de inducción. Por lo tanto $B=\sum_{i=1:m}A[x_1,\ldots,x_{r-1}]y_i=\sum_{i=1:m}\left(\sum_{j=1:k}Az_j\right)y_i=\sum_{i,j}Ay_iz_j$ es un finitely generadas $A$-módulo.

Por el contrario, si $B$ es finitely genera como una $A$-módulo de $x_1,\ldots,x_r$,$B=A[x_1,\ldots,x_r]$, e $B$ es un finitely generadas $A$-álgebra (esta parte no requiere la integral de hipótesis).

Debido a esta equivalencia, no puede ser estrictamente más débil condición.