Use inducción matemática para demostrar que para todos los enteros $n \geq 4, 3^n \geq n^3$

Question

Use inducción matemática para demostrar que para todos los enteros $n \geq 4, 3^n \geq n^3$

Así que con esta pregunta me gustaría comprobar en el caso base.

Supongamos $P(4)$ es el predicado $3^4 \geq 4^3$ donde $n \geq 4$

$81 \geq 64$, por lo $P(4)$ es cierto.

Supongamos $P(k)$ es cierto para algunos predicado $3^k \geq k^3$ donde $k \geq 4$

Considere la posibilidad de $P(k+1).$

$3^{(k+1)} \geq (k+1)^3,$ donde $k+1 \geq 4$

$3^k * 3$ $\geq$ $k^3+3k^2+3k+1$

Sé que tengo que estar en movimiento hacia la prueba usando mi $P(k)$ de los casos, pero no saben cómo seguir adelante con el cúbicos función. Este problema sería más comprensible si yo podría trabajar con una ecuación cuadrática en su lugar jaja.

Cualquier ayuda/soluciones apreciado. Tener una buena!

Answer 1

Usted está haciendo su prueba de torpes por escribir lo que desea terminar con el, en lugar de su asunción (aunque es bueno tener esta escrito en la barra lateral para poder ver a su poste de meta).

Ha $3^{(k+1)} = 3\cdot 3^{k}$, y por su supuesto de que usted ha $3 \cdot 3^{k} \geq 3\cdot k^{3}$. Así que usted quiere demostrar que $3k^{3} \geq k^{3}+3k^{2}+3k+1$. Espero que esta ayuda (usted tendrá que utilizar el hecho de que $k \geq 4$).

Answer 2

\begin{align} 3^{n+1} &\geq 3n^3\\ &=n^3+2n^3\\ &=n^3+2n.n^2\\ &\geq n^3+2n(2n-1)\\ &=n^3+4n^2-2n\\ &>n^3+3n^2+3n+1\\ &=(n+1)^3 \end{align}

Answer 3

No hay ningún cubo en este problema, porque

$$3^n\ge n^3\iff\left(\sqrt[3]3\right)^n\ge n.$$

Ahora es una cuestión fácil ver que

$$\left(\sqrt[3]3\right)^n\ge n\implies\left(\sqrt[3]3\right)^{n+1}\ge \sqrt[3]3\,n\ge n+1$$ as of $n=3$.