Encuentra el volumen entre dos superficies

Question

Encuentra el volumen entre $z=x^2$ y $z=4-x^2-y^2$

Hice la trama y se ve así:

Parece que la proyección sobre el $xy$ -el avión es una elipse, porque si $z=x^2$ y $z=4-x^2-y^2$ entonces $2x^2+y^2=4$ lo que significa que $\displaystyle\frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}+\displaystyle\frac{y^2}{2^2}=1$

Stewart define una región I si es del tipo $\{(x,y,z):(x,y)\in D, u_1(x,y)\leq z \leq u_2(x,y)\}$ .

Creo que la región en la que me piden el taxi debe describir el escenario $D=\{(x,y): \displaystyle\frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}+\displaystyle\frac{y^2}{2^2}=1\}$ y luego $E=\{(x,y,z):(x,y)\in D, x^2\leq z \leq 4-x^2-y^2\}$ .

¿Puede el volumen $V(E)$ ser computado por $\displaystyle\int\displaystyle\int_D\displaystyle\int_{x^2}^{4-x^2-y^2}z\;dz$ ?

O tal vez considerando que $0\leq \sqrt{x} \leq \sqrt{2}$ y $0 \leq y \leq \sqrt{4-x^2-y^2}$ ¿podría computar el volumen calculando $\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}}\displaystyle\int_0^{\sqrt{4-2x^2}}\displaystyle\int_{x^2}^{4-x^2-y^2}z\;dzdydx ?$

El problema con el enfoque anterior es que no parece demasiado fácil después de las dos primeras integrales, porque:

$\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}}\displaystyle\int_0^{\sqrt{4-2x^2}}\displaystyle\int_{x^2}^{4-x^2-y^2}z\;dz = \displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\sqrt{2}}\displaystyle\int_0^{\sqrt{4-2x^2}} [(4-x^2-y^2)^2-x^2]\; dydz \\ =\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\sqrt{2}} \left(16y-7x^2y-\frac{8}{3}y^3+\frac{2}{3}x^2y^3+x^4y+\frac{1}{5}y^5\right)\rvert_0^{\sqrt{4-2x^2}}\;dx$ que después de la sustitución parece difícil de evaluar.

¿Hay una manera fácil?

Answer 1

El error en su solución es que el volumen del conjunto $E$ no es

$$\iiint\limits_{E} z \, dV, \text{ but } \iiint\limits_{E} \, dV.$$

Así que tenemos

$$V(E) = \iint \hspace{-5pt} \int_{x^2}^{4-x^2-y^2} \, dz \, dA = \iint 4-2x^2 -y^2 \, dA.$$

Esto puede ser abordado de un par de maneras. Una es usando las coordenadas cartesianas, como tú lo has hecho. La otra es usando coordenadas polares. Ya que $2x^2 +y^2 = 4$ tenemos

$$\frac{x^2}{(\sqrt{2})^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1.$$

Para usar las coordenadas polares aquí cambiamos usando

$$\begin{cases} x & = \frac{r \cos \theta}{\sqrt{2}} \\ y & = \frac{r \sin \theta}{2}, \end{cases}$$

y el "elemento de área" se convierte en

$$dA = \frac{r}{2 \sqrt{2}} \, dr \, d \theta.$$

Esto se obtiene a través del jacobino. Puedo escribirlo explícitamente si lo necesitas. Procediendo a los cálculos se obtiene

$$ \begin{align} \iint 4 -2x^2 -y^2 \, dA & = \int_0^{2 \pi} \hspace{-5pt} \int_0^1 (4-r^2) \frac{r}{2\sqrt{2}} \, dr \, d \theta \\ & = \frac{2 \pi}{2 \sqrt{2}} \int_0^1 4r - r^3 \, dr \\ & = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left( 2r^2 \bigg\vert_0^1 - \frac{r^4}{4} \bigg\vert_0^1 \right) \\ & = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left( 2 - \frac{1}{4} \right) \\ & = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \cdot \frac{7}{4} \\ & = \frac{7 \pi}{4 \sqrt{2}}. \end{align} $$

Mis mejores deseos. :)

Answer 2

Estoy de acuerdo con Fantini en que no necesita el $z$ dentro de la integral. Generalmente, cuando ves muchos cuadrados, especialmente $x^2+y^2$ entonces deberías pensar en cambiar a coordenadas polares/cilíndricas. Esto obtendrá la respuesta para esta integral, aunque como el límite es una elipse, no es una integral tan directa. La ecuación de la elipse se convierte en

$2r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta=4 \Longrightarrow r^2 = \dfrac{4}{\sin^2\theta+2\cos^2\theta} = \dfrac{4}{1+\cos^2\theta}$

Así que obtengo el siguiente resultado:

$\begin{align} \iint 4 -2x^2 -y^2 \, dA &= \iint 4-(x^2+y^2) - x^2 dA \\ & = 4\int_0^{\pi/2} \hspace{-5pt} \int_0^{\sqrt{\frac{4}{1+\cos^2\theta}}} (4-r^2-r^2\cos^2\theta) \, r \, dr \, d \theta \\ &= 4\int_0^{\pi/2} \hspace{-5pt} \int_0^{\sqrt{\frac{4}{1+\cos^2\theta}}} (4r-r^3-r^3\cos^2\theta) \, dr \, d \theta \\ &= 4\int_0^{\pi/2} \hspace{-5pt} (2r^2-\frac{1}{4}r^4-\frac{1}{4}r^4\cos^2\theta)\bigg\vert_0^{\sqrt{\frac{4}{1+\cos^2\theta}}} \, d \theta \\ & = 4\int_0^{\pi/2} \dfrac{8}{1+\cos^2\theta} - \dfrac{4}{(1+\cos^2\theta)^2} - \dfrac{4\cos^2\theta}{(1+\cos^2\theta)^2} \, d \theta \\ & = 4\int_0^{\pi/2} \dfrac{8+8\cos^2\theta}{(1+\cos^2\theta)^2} - \dfrac{4+4\cos^2\theta}{(1+\cos^2\theta)^2} \, d \theta \\ & = \int_0^{\pi/2} \dfrac{16+16\cos^2\theta}{(1+\cos^2\theta)^2} \, d \theta \\ & = \int_0^{\pi/2} \dfrac{16}{1+\cos^2\theta} \, d \theta \\ &= \int_0^{\pi/2} \dfrac{16}{\sin^2\theta+2\cos^2\theta} \, d \theta\\ & = \int_0^{\pi/2} \dfrac{16}{\sin^2\theta+2\cos^2\theta}\cdot\dfrac{\frac{1}{\cos^2\theta}}{\frac{1}{\cos^2\theta}} \, d \theta \\ &= \int_0^{\pi/2} \dfrac{16\sec^2\theta}{\tan^2\theta+2} \, d \theta \\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{16}{u^2+(\sqrt{2})^2} \, d u \\ &= \dfrac{16}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\dfrac{u}{\sqrt{2}}\right) \bigg\vert_0^{\infty} = \dfrac{16}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\pi}{2} = 4\sqrt{2}\pi \end{align}$

Tenga en cuenta que he hecho un poco de agitación de la mano al final para hacer frente a la integral impropia y que las soluciones anteriores está de acuerdo con un cálculo por ordenador de la respuesta.