¿Es matemáticamente correcto escribir $a \bmod n \equiv b$ ?

Question

No se trata de una cuestión técnica, sino de si podemos utilizar una notación determinada al hacer aritmética modular.

Escribimos $a \equiv b \bmod n$ pero, ¿es correcto escribir $a \bmod n \equiv b$ ?

Answer 1

Tenemos dos nociones diferentes, pero relacionadas:

1. En relación de equivalencia "congruente módulo $n$ ".

   Sea $n$ sea un número entero fijo. Si $a$ y $b$ son números enteros, decimos que " $a$ y $b$ son congruentes módulo $n$ "si y sólo si $n|b-a$ . Lo escribimos así: $$a\equiv b\pmod{n}.$$ El símbolo $\equiv$ se lee "es congruente con" (a diferencia del símbolo $=$ que se lee "es igual a").

2. En operador binario $\bmod$ .

   Sea $n$ sea un número entero positivo. Si $a$ es un número entero, entonces $a\bmod n$ es el resto (de un conjunto distinguido, véase más adelante) de dividir $a$ por $n$ . Esto es leer " $a$ modulo $n$ ".

   En matemáticas, $a\bmod n$ suele definirse como el número entero único $r$ tal que $a=nq + r$ para algún número entero $q$ y $0\leq r \lt n$ . En otras áreas, como la informática (y a veces en matemáticas), se suele exigir que $a\bmod n$ sea el único número entero $r$ tal que $-\frac{n}{2}\lt r\lt \frac{n}{2}+1$ y $a-r$ es múltiplo de $n$ .

   En términos más generales, se puede especificar un "conjunto distinguido de residuos módulo $n$ ", un conjunto $R_n=\{a_0,\ldots,a_{n-1}\}$ tal que cada número entero $x$ es congruente módulo $n$ a uno y sólo un elemento de $R_n$ y defina $\bmod$ como el operador tal que $x\bmod n$ es el único elemento de $a\in R_n$ tal que $x\equiv a\pmod{n}$ .

   El operador $\bmod$ es como cualquier otro operador de notación infija, como por ejemplo $+$ escribimos $2+3 = 5$ porque el resultado de realizar la operación $+$ à $2$ y $3$ est $5$ . Escribimos " $a\bmod n = b$ "para indicar que $b$ est el resultado de realizar la operación "módulo $n$ " a $a$ .

Ambas nociones están relacionadas en el sentido de que si $a\bmod n = b$ , entonces $a\equiv b\pmod{n}$ . La inversa no se cumple en general, ya que tenemos, por ejemplo, $5\equiv 9\pmod{4}$ pero $5\bmod 4 = 1\neq 9$ .

Escribir " $a\bmod n \equiv b$ "confunde las dos nociones y es sintácticamente incorrecto. Debe utilizar $=$ no $\equiv$ . En $=$ sería "matemáticamente correcto" si y sólo si $b$ est el resultado de calcular $a\bmod n$ (así $5\bmod 4 = 5$ estaría mal, pero $5\bmod 4=1$ sería correcto).

Escribir $a\equiv b\bmod n$ también invita a confundir ambas nociones.

(Obsérvese, no obstante, que " $a\bmod n \equiv b \pmod{n}$ "sería sintácticamente correcto, y sería matemáticamente correcto si $a\equiv b\pmod{n}$ .)

Answer 2

En informática, cuando escribimos $a \, \% \, n == b$ , $\%$ es un operador/función/como se le llame que actúa sobre $a$ para devolver algo, pero en matemáticas, escribir " $\pmod n$ " significa que estamos ante una igualdad que funciona en algún cociente de un grupo/ring/ $(\dots)$ . Por ejemplo, escribir $$ a \pmod n \equiv b $$ no tiene definición matemática, porque en el "lado" izquierdo de la congruencia tenemos $a \pmod n$ que es alguna clase de equivalencia de enteros (supongo), pero en el lado derecho tenemos un entero (supongo de nuevo), y entonces quieres que sean "equiv" ( $\equiv$ es \equiv en TeX) en cierto sentido, pero entonces de nuevo no se define. (Funciona en informática, pero entonces otra vez... bueno). La forma estándar de escribir cosas en matemáticas es que $$ a \equiv b \pmod n $$ lo que significa que " $a$ y $b$ son equivalentes hasta un elemento del ideal generado por $n$ es decir, un $n$ -múltiple". Usted debe leer esto como $$ [[ a \equiv b ]] \pmod n $$ en el sentido de que $\pmod n$ es "algo que se aplica a la ecuación", es decir, "cociente".

Espero que le sirva de ayuda,

Answer 3

A menudo es correcto. $\TeX$ distingue los dos usos: el \pmod secuencia de control es para "entre paréntesis" $\pmod n$ utilizado para contextualizar una equivalencia, como en su primer ejemplo, y el \bmod la secuencia de control es para "operador binario" $\bmod$ cuando se utiliza como un operador binario (en tu segundo ejemplo).

Pero en este último caso, debe utilizar $=$ no $\equiv$ . $7\bmod4 = 3$ y la relación aquí es una igualdad numérica, indicada por $=$ no es una equivalencia modular, lo que vendría indicado por $\equiv$ .