Qué contienen los conjuntos $\infty$ y $-\infty$ ¿y por qué están cerrados los enteros?

Question

Así que actualmente estoy estudiando de Principios de análisis matemático de Rudin o coloquialmente "Baby Rudin" y he tropezado con el segundo capítulo a saber, topología básica. Enumera algunos conjuntos y dice si son o no acotados, abiertos, cerrados o perfectos. Mi pregunta viene del hecho de que llama cerrado al conjunto de todos los enteros

Según el texto, un conjunto es cerrado si todo punto límite es un elemento del propio conjunto. Naturalmente, entiendo que los únicos puntos límite de los enteros son $\infty$ y $-\infty$ ... sin embargo asumí que los enteros no contienen ninguno de estos elementos por lo que razoné que los enteros no estaban cerrados

¿Podría alguien explicar por qué este razonamiento es erróneo? Supongo que estoy malinterpretando algo...

Como pregunta corolario me preguntaba qué conjuntos contienen $\infty$ y/o $-\infty$

Continuando con la historia de mi estudio, asumí entonces que estaba equivocado y que los números enteros contienen de hecho $\infty$ y $-\infty$ ( teniendo en cuenta que el conjunto de los números complejos y reales se consideran también cerrados supuse que $\infty$ y $-\infty$ son elementos de todos estos conjuntos ) pero luego Rudin vuelve a hablar del conjunto $S = \left\{\frac{1}{n} | \, n \in \mathbb{N} \right\} $ pero dice que $0$ no es un elemento (pero es obviamente un punto límite)... Supongo que la confusión que tengo viene del hecho de que entonces asumí que $\infty$ es un elemento de los números naturales y antes define $\frac{1}{\infty} = 0$ entonces $0$ debería estar en el set...

¿En qué se equivoca mi forma de pensar?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Los enteros están cerrados en $\Bbb R$ el espacio de los números reales; $\infty$ y $-\infty$ no están en ese espacio y por lo tanto no son relevantes. A juzgar por un rápido vistazo a mi segunda edición, en ese momento no ha hablado de $\pm\infty$ o los números reales extendidos en absoluto.

Answer 2

Un conjunto $U$ no está abierto ni cerrado implícitamente. En la línea real $[0,1)$ no está abierto ni cerrado, sino en el intervalo $[0,1]$ está abierto. El hecho de que un conjunto se considere abierto es relativo a una topología matriz.

Así que decimos $U$ está abierto/cerrado en otro espacio $X$ . A veces, el $X$ es implícita, pero cuando alguien te dice un conjunto $U$ está abierto, siempre hay una opción explícita o implícita $X$ .

Por ejemplo, si $U$ es el conjunto de los números pares, se podría pensar que " $U$ no está abierto". Pero lo es, cuando se considera como un subconjunto de los números enteros. Los números pares no son abiertos en el conjunto de los números reales, pero eso no es una contradicción.

Los números enteros, por tanto, son cerrados como subconjunto de la recta real. Como bien señalas, los enteros no son cerrados como subconjunto de la recta real extendida, pero dudo que Rudin lo afirme, y no hay contradicción en ello.

Hay algunas cosas generales que se pueden decir. Si $U\subset V\subset W$ son espacios topológicos, entonces si $U$ está abierto (cerrado) en $V$ y $V$ es abierto (resp. cerrado) en $W$ entonces $U$ es abierto (resp. cerrado) en $W$ .

Esto no ayuda, sin embargo, porque si $U$ son los enteros, $V$ es la línea real, y $W$ es la línea real extendida, no podemos concluir nada de $U$ que se cierra en $V$ porque $V$ no está cerrado en $W$ .

Answer 3

Un punto límite en un espacio métrico $X$ de un subconjunto $A\subset X$ es un punto $x\in X$ para la cual una secuencia $(a_i)_{i\geq 0}$ converge a $x$ con $a_i\in A$ para todos $i\geq 0$ . Las únicas secuencias convergentes de elementos de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{R}$ (es decir, con la topología/metría inducida) son secuencias que son eventualmente constantes, además el punto límite de tal secuencia es simplemente el número entero en el que es constante. De ello se desprende que $\mathbb{Z}$ contiene todos sus puntos límite y es cerrado.

Answer 4

El conjunto de los números enteros no contiene ningún punto límite y se deduce que es cerrado, vacuamente. Rudin discute brevemente los números reales extendidos en una pequeña sección en el capítulo uno hacia el final, sin embargo no está usando ese sistema en el capítulo. Supongo que si lo hiciera lo diría explícitamente.

Answer 5

Un "punto límite" en topología no tiene nada que ver con el límite de un conjunto. (Por eso supongo que se te ocurrió la idea de que $\infty$ y - $\infty$ eran puntos límite de los números enteros) Un punto límite de un conjunto A es un punto x tal que cada vecino de x contiene un punto (distinto de x) del conjunto A.

Así, por ejemplo, el punto 1/2 es un punto límite de [0,1) porque toda vecindad alrededor de 1/2 contiene puntos distintos de 1/2 que están en [0,1). ( Nada que ver con los límites de [0,1).

Por tanto, un conjunto cerrado es aquel que contiene todos sus pts. límite. Ejemplo: Toda vecindad de 1 contiene algunos puntos en [0,1) por lo que 1 es un punto límite de [0,1). Pero 1 no es un miembro de [0,1) por lo que [0,1) no es cerrado.

Considera los números enteros. Si x es un número entero, la vecindad (x - 1/2, x + 1/2) no contiene ningún número entero distinto de x. Por tanto, x no es un punto límite de los enteros. Consideremos que x no es un entero. Entonces se puede encontrar una vecindad alrededor de x que no tiene ningún entero en ella. Así que x tampoco es un punto límite de los enteros. Así que los enteros no tienen puntos límite. Si no hay puntos límite entonces es cierto que todos los puntos límite están en Z porque no hay puntos límite. Así que los enteros son cerrados.

Entonces, ¿qué conjuntos contienen $\infty$ y - $\infty$ . Bueno, en lo que respecta a Rudin, sólo la "línea de números reales extendida". Y la sólo El propósito de la recta numérica real extendida es tener símbolos para cantidades no limitadas.