Entendiendo el caso afín de un resultado apilado

Question

Estoy revisando las secciones de Vistoli de FGA Explicó para empezar a entender las pilas. Es bien sabido y probado en el texto que la categoría de fibras $QCoh$ de poleas cuasi-coherentes es una pila en la topología de la fpqc. En particular, entonces, dadas dos poleas cuasicoherentes $ \xi $ y $ \eta $ en un esquema $S$ el functor $Hom_U( \xi , \eta ):Sch$ / $U \rightarrow (Set)$ enviando cada objeto $X \rightarrow U$ al set $Hom_{O_X}( \xi |_X, \eta |_X)$ debería ser una gavilla en la topología fpqc (esta es la proposición 4.7 para los que tienen el texto).

Así que tomar $U=SpecA$ afín, $X=U \rightarrow U$ la identidad y $V=SpecB \rightarrow U$ un morfismo fielmente plano (de ahí una cobertura de fpqc de $U$ ), deberíamos tener una secuencia exacta

$0 \rightarrow Hom_{O_U}( \xi , \eta ) \rightarrow Hom_{O_V}( \xi |_V, \eta |_V) \rightarrow Hom_{O_{V \times V}}( \xi |_{V \times _U V}, \eta |_{V \times _U V}) \rightarrow0 $

donde el segundo mapa no nulo está dado por la diferencia entre los retrocesos a lo largo de las dos proyecciones.

Bien, con todo esto de la FGA establecido, mi pregunta es en realidad bastante tonta y básica. Ya que todo lo anterior es afín, podemos reemplazar todos los esquemas por anillos y todas las poleas por módulos para obtener:

$0 \rightarrow Hom_{A}(M,N) \rightarrow Hom_{B}(M \otimes_A B,N \otimes_A B)$ $ \rightarrow Hom_{B \otimes_A B}(M \otimes_A B \otimes_A B,N \otimes_A B \otimes_A B) \rightarrow0 $

Mi pregunta es: ¿qué es exactamente el segundo mapa no nulo en términos simples? Por ejemplo, si $ \phi \in Hom_{B}(M \otimes_A B,N \otimes_A B)$ y $ \psi $ es su imagen en $Hom_{B \otimes_A B}(M \otimes_A B \otimes_A B,N \otimes_A B \otimes_A B)$ ¿puedes darme una fórmula para $ \psi (m \otimes b \otimes b')$ en términos de $ \phi $ y las cartas dadas. Porque la forma en que interpreto el segundo mapa, siempre es cero, lo cual estoy seguro que está mal.

EDITORIAL: La sección de Vistoli de "Explicación de FGA" está disponible aquí: http://arxiv.org/abs/math/0412512 .

Answer 1

De hecho, deberías ser capaz de pensar en varios homomorfismos $ \mathrm {Hom}_B (B \otimes_A M, B \otimes_A N) \to \mathrm {Hom}_{B \otimes_A B} (B \otimes_A B \otimes_A M, B \otimes_A B \otimes_A N)$ . El que necesitamos aquí es inducido por los dos $A$ -homomorfismos de álgebra $B \to B \otimes_A B$ dado por $b \mapsto b \otimes 1$ y $b \mapsto 1 \otimes b$ . Recuerde que, para cualquier $A$ -homomorfismo de álgebra $g : B \to C$ en cualquier caso, hay un homomorfismo \begin {alinear} \mathrm {Hom}_B (M', N') & \to \mathrm {Hom}_C (C \otimes_B M', C \otimes_B N') \\ \phi & \mapsto \mathrm {id}_C \otimes_B \phi \end {alinear} inducida por el functor $C \otimes_B (-)$ donde $C$ es un $B$ -módulo vía $g$ . Ahora, podemos definir un $(B \otimes_A B)$ -isomorfismo de módulo \begin {alinear} (B \otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A M) & \mapsto B \otimes_A B \otimes_A M \\ (b \otimes b') \otimes (1 \otimes m) & \mapsto b \otimes b' \otimes m \end {alinear} pero tenga en cuenta que el significado de la fórmula anterior depende de la $B$ -estructura de módulos que pusimos $B \otimes_A B$ . Así que tenemos dos homomorfismos $$ \mathrm {Hom}_B (B \otimes_A M, B \otimes_A N) \to \mathrm {Hom}_{B \otimes_A B} (B \otimes_A B \otimes_A M, B \otimes_A B \otimes_A N)$$ inducida por las dos coproyecciones $B \to B \otimes_A B$ . El diferencial en el complejo de la cocaína que buscas es la diferencia de estos dos homomorfismos; puedes comprobar que, para un elemento de la forma $ \mathrm {id}_B \otimes_A \theta $ en $ \mathrm {Hom}_B (B \otimes_A M, B \otimes_A N)$ ambos homomorfismos producen $ \mathrm {id}_B \otimes_A \mathrm {id}_B \otimes_A \theta $ .