Patrón en la representación decimal de las potencias de 5

Question

Los primeros pocos valores de $5$ son:

\begin{array}{r} 5 \\ 25 \\ 125 \\ 625 \\ 3125 \\ 15625\\ 78125\\ 390625\\ 1953125\\ 9765625\\ 48828125\\ 244140625\\ 1220703125\\ 6103515625\\ \end{array}

Puedes observar que siempre el último dígito es $5$ y el penúltimo es $2$. El dígito anterior cicla entre $1$ y $6$, y el anterior a ese entre $3,5,8$ y $0$. Podemos continuar:

\begin{array}{ll} \text{dígito} & \text{periodo} \\ 1 & 5\\ 2 & 2\\ 3 & 16\\ 4 & 3580\\ 5 & 17956240\\ 6 & 3978175584236200 \end{array}

Exceptuando los primeros 2 $(5$ y $2)$ podemos ver que todos estos períodos parecen ser congruentes a 7 módulo 9.

¿Puede esto ser demostrado?

Answer 1

Escribe $a\%n$ para el entero no negativo más pequeño congruente con $a$ módulo $n$, es decir, $a\%n=r$ si y solo si $a\equiv r\pmod{n}$ y $0\le r

Observa que el ciclo de los últimos cuatro dígitos contiene $625,3125,5625,8125$, que son $1,5,9,13$ veces $5^4$. De manera similar, el ciclo de los últimos cinco dígitos contiene $$ \begin{array}{ll} 3125 = 1\times 5^5 & 53125 = 17\times 5^5 \\ 15625 = 5\times 5^5 & 65625 = 21\times 5^5 \\ 28125 = 9\times 5^5 & 78125 = 25\times 5^5 \\ 40625 = 13\times 5^5 & 90625 = 29\times 5^5 \end{array} $$

En general, estos ciclos tienen las siguientes propiedades para $k>1:

P1: $5^n\%10^k$ se repite en un ciclo de longitud $2^{k-2}$ para $n\ge k$.

P2: Estos conjuntos, que denotaremos como $S_k$, son iguales, formalizando el patrón mencionado anteriormente: $$S_k = \left\{5^n\% 10^k\right\}_{n=k}^{k+2^{k-2}-1} = \left\{(4n+1)5^k\right\}_{n=0}^{2^{k-2}-1}$$

Sea $$A_k = \sum_{x\in S_k} x \\ B_k = \sum_{x\in S_k} \left\lfloor \frac{x}{10^{k-1}}\right\rfloor = \sum_{x\in S_k} \frac{x - (x\%10^{k-1})}{10^{k-1}} $$ Entonces $B_k$ es la suma de los dígitos en el número llamado "period" en la pregunta, que es congruente con el número módulo $9$.

De la P1, para $k>2$ un ciclo de los últimos $k$ dígitos contiene dos ciclos de los últimos $k-1$ dígitos, así que $$ A_k = 10^{k-1} B_k + 2 A_{k-1} \\ B_k \equiv A_k-2A_{k-1} \pmod {9} $$ es decir, podemos descomponer $A_k$ en dos sumas de los últimos $k-1$ dígitos y una suma de los primeros dígitos multiplicados por $10^{k-1}$.

De la P2 podemos evaluar $A_k$: $$ \begin{align} A_k & = \sum_{n=0}^{2^{k-2}-1}(4n+1)5^k \\ & = 5^k\left[ \left(4\sum_{n=1}^{2^{k-2}-1} n\right) + \sum_{n=0}^{2^{k-2}-1} 1 \right] \\ & = 5^k\left(4 \frac{2^{k-2}(2^{k-2}-1)}{2} + 2^{k-2}\right) \\ & = 25\cdot 10^{k-2} \left(2^{k-1}-1\right) \\ & \equiv 7 \left(2^{k-1}-1\right) \pmod{9} \end{align} $$ de lo cual se puede deducir que $$ \begin{align} B_k & \equiv A_k-2A_{k-1} \\ & \equiv 7 (2^{k-1}-1) - 2\cdot 7(2^{k-2}-1) \\ & \equiv 7 \pmod {9} \end{align} $$ estableciendo el resultado deseado.

Ahora, para completar los espacios en blanco, demostraremos P1 y P2.

Primero $2^n\not\mid n!$. La potencia de $2$ en $n!$ es $v_2(n!)=\lfloor n/2\rfloor + \lfloor n/4 \rfloor + \lfloor n/8 \rfloor + \cdotsesto).

Por lo tanto, $$2^n \left\vert \binom{2^n}{i} 2^i \right. = \frac{2^n C}{i!} 2^{i} $$ para algún $C\in \mathbb{Z}$. Usando el teorema binomial $$ 5^{2^{k-3}} = (1+4)^{2^{k-3}} = 1+2^{k-3}\cdot 4 + \sum_{i=2}^{2^{k-3}}\binom{2^{k-3}}{i} 4^i \equiv 2^{k-1}+1 \pmod {2^k} \\ 5^{2^{k-2}} = (1+4)^{2^{k-2}} = 1 + \sum_{i=1}^{2^{k-2}}\binom{2^{k-2}}{i} 4^i \equiv 1 \pmod {2^k} $$ lo cual establece que el orden de $5$ en $\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z}^{\times}$ es $2^{k-2}$ (ya que también debe dividir a $2^{k-1}$).

Por lo tanto, para $1P1.

Además, para $1P2.