Utilizando $\, \,y(x_0)=y_0\,\,$ para la ecuación diferencial

Question

No sé qué hacer, tratando de usar el punto de I'am pero como se puede ver tan(-pi/2) no darme la respuesta que busca para...

Answer 1

En el paso donde se divide en $\sin(z)+1$, que está perdiendo algunas soluciones de la forma $z(x)=C$ (soluciones constantes, donde $\sin(C)+1=0$); estas soluciones deben ser escritas por separado. Y resulta que los datos iniciales dados corresponden a una de esas soluciones.

Answer 2

Después de la transformación de $z=x+y$ llegar al equivalente de PIV $$z'=\sen z+1,\quad z(0)=-\frac{\pi}{2}. \etiqueta{1}$$ Claramente, la función constante, $z(x)=-\dfrac{\pi}{2}$, satisface $(1)$.

Pero IVP $(1)$ disfruta de singularidad, ya que $f(z)=\sin z+1$ es Lipschitz continua.

Por lo tanto, $z(x)=-\dfrac{\pi}{2}$ es LA solución de $(1)$, y por lo tanto $y(x)=-\dfrac{\pi}{2}-x$ es la solución de LA original IVP.

Nota. Este es un gran ejemplo de un PIV a prueba el error más común que hacen los estudiantes cuando resuelven separables ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir,$f(x,y)=g(x)h(y)$. Para evitar el error que uno necesita saber lo siguiente:

Nunca dividir por $g(y)$, si el valor inicial mata a $g(y)$, es decir, $g(y_0)=0.$ En tal caso la solución de la urografía EXCRETORA es constante.