Todos subrings del anillo son anillos de división, entonces es un campo.

Question

Mi profesor de poner este problema en una lista de $200$ problemas para el examen:

Un anillo de $R$ se llama periódico si para cada una de las $x\in R$ existe $n\geq 2$ tal que $x^n=x$. A partir de la Jacobson Teorema (Todos los anillos periódicos son conmutativas) a la conclusión de que:

• Cualquier finito de la división de anillo es un campo.
• Si $R$ es un anillo tal que cualquier sub-anillo es un anillo de división, a continuación, $R$ es un campo.

El primero es el teorema de Wedderburn, y he encontrado pruebas en libros y en internet, pero el segundo no sé cómo proceder con ella. Agradecería si alguien me puede dar una sugerencia o una referencia para la lectura de la prueba.

Answer 1

Sugerencia: el Primer espectáculo $R$ debe tener característica positiva. A continuación, mostrar que cada elemento de a $R$ debe ser algebraicas sobre el primer campo. Ahora a la conclusión de que $R$ es periódica.

Una prueba plena se oculta a continuación:

Desde $R$ es un sub-anillo de sí mismo, es un anillo de división. Si $R$ había característica $0$, $\mathbb{Z}$ sería un sub-anillo, sino $\mathbb{Z}$ no es un anillo de división. Por lo tanto $R$ tiene características de las $p$ algunos $p>0$. Si $x\in R$ fueron trascendentales sobre$\mathbb{F}_p$, $\mathbb{F}_p[x]\subset R$ sería un polinomio de anillo, que no es un anillo de división. Así, cada elemento de a $R$ es algebraico sobre $\mathbb{F}_p$. En particular, el sub-anillo generado por un solo elemento de $R$ es finito, por lo que cualquier elemento distinto de cero tiene orden finito. De ello se desprende que $R$ es un periódico anillo, y por lo tanto conmutativa por Jacobson del teorema.