Demostrar que $\liminf x_n = -\limsup (-x_n)$

Question

¿Cómo podemos demostrar que $\liminf x_n = -\limsup (-x_n)$ ?

Las definiciones que utilizamos son
$\limsup x_n = \lim\limits_{n\to\infty} \sup\{x_k; k\ge n\}$
$\liminf x_n = \lim\limits_{n\to\infty} \inf\{x_k; k\ge n\}$

Answer 1

Me quedo con la definición que mencionas. Definición de $\liminf x_n$ como el límite más pequeño de todas las subsecuencias convergentes en $[-\infty,+\infty)$ y $\limsup$ como el mayor, etc... haría que la declaración fuera algo más fácil de comprobar.

Suponga que ha demostrado que $-\sup (-A)=\inf A$ para cada subconjunto $A$ de $\mathbb{R}$ . Aplicando esto al conjunto $A=\{x_n\;;\;n>N\}$ rendimientos: $$ -\sup_{n>N}(-x_n)=\inf_{n>N}x_n\qquad \forall N. $$ Tomando el límite en ambos lados se obtiene la fórmula. Incluso en el caso de que estas secuencias sean constantes iguales a $-\infty$ es decir $\liminf x_n=-\infty$ y $\limsup (-x_n)=+\infty$ .

Demostremos ahora la propiedad de conjunto. Claramente, $A$ no está acotada por debajo si y sólo si $-A$ no está acotada por encima. En este caso, obtenemos $-(+\infty)=-\infty$ y se cumple la propiedad Supongamos ahora que no estamos en este último caso. Tomemos $a\in A$ . Tenemos $$ m\leq a\qquad\iff\qquad -a\leq -m. $$ Por lo tanto, $m$ es un límite inferior para $A$ sólo si $-m$ es un límite superior para $-A$ . De ello se deduce que $-\inf A$ es un límite superior para $-A$ Así que $\sup(-A)\leq -\inf A$ . E igualmente, $-\sup(-A)$ es un límite inferior para $A$ Así que $-\sup(-A)\leq \inf A$ . Esto demuestra la igualdad $-\sup(-A)=\inf A$ .