PARA

Question

Qué es $$\lim\limits{n\to\infty} \sup \sqrt[n]{n^k} \ \ \ \text{where } k \in \mathbb{N}\text ?$$ I've seen the proof that $ \lim\limits{n\to\infty} \sqrt[n]n = 1$. I believe the answer is$1$for all$k$because$\sqrt[n]n$approaches$1$, so a sequence that approaches$1$raised to an exponent, I believe, should also approach$1$.

No sé cómo probar, principalmente por el concepto de $\lim\limits{n\to\infty}\sup$. Aprendí a$\lim\limits{n\to\infty}\sup s_n\sup$de todos los límites consecutivas de$s_n$. Intuitivamente sé que es el$\inf$de todos$\sup$s de la secuencia como$n\to\infty$. Pero no sé cómo utilizar esa definición /intuition para resolver problemas como este.

Answer 1

Observe que $$\sqrt[n]{n^k}=(\sqrt[n]{n})^k.$$ Since $f (x) = x ^ k$ is continuous, $f(\sqrt[n]{n}) \rightarrow f (1) =1$ as $\sqrt [n] {n} \rightarrow 1$ un sigue el resultado.

Answer 2

La respuesta de su problema, usted puede notar

$$\sqrt[n]{n^k} = \exp( \frac{1}{n} \ln(n^k) ) = \exp( k \frac{\ln(n)}{n} ).$$

Ahora como $$\frac{ \ln(n) }{n} \to 0$$ and that $e ^ {kx}$ es continua, tienes que

$$\lim_{n\to + \infty} \exp( k \frac{\ln(n)}{n} ) = e^0 = 1.$$

Answer 3

Sugerencia: si $\lim$ existe, entonces $\limsup=\lim=\liminf$.

(Notaciones no son tan correctos, pero usted consigue lo que me refiero, por supuesto).