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Diferencia entre Algebra de transformaciones conformales Infinitesimal y álgebra Conformal

en Blumenhagen Libro sobre la teoría conforme de campos, se menciona que el álgebra de infinitesimales de conformación de transformación es diferente de la conformación de álgebra y en la página 11, de conformación de álgebra se define por una redefinición de los generadores de infinitesimales de conformación de transformación. Tengo tres preguntas acerca de esto :

  • ¿Cómo es posible que por una redefinición de los generadores, se podría obtener una sub-algebra de un álgebra? en este caso se obtiene de conformación de álgebra como un sub-álgebra álgebra de generadores de infinitesimales de conformación de las transformaciones?

  • ¿Esto se relaciona con el "especial de conformación de la transformación", que no es definido globalmente?

  • Cómo son estos relacionados con propiedades topológicas de la conformación del grupo?

Cualquier comentario o referencia sería muy apreciada!

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Stefano Puntos 763

Deje $\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$ denotar la conformación compactification de $\mathbb{R}^{p,q}$. Deje $n:=p+q$. [Si $n=1$, entonces cualquier transformación es automáticamente una conformación de transformación, así que supongamos $n\geq 2$.]

  1. Por un lado, está el (global) conformación del grupo que consiste en el conjunto definido globalmente conformación de las transformaciones en $\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$. Esta es una $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ dimensiones de la Mentira de grupo. El (global) de conformación de álgebra es el correspondiente $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ dimensiones de álgebra de la Mentira, que es isomorfo a $so(p+1,q+1)$. Dimensión-sabio, la Mentira de álgebra se descompone en $n$ traducciones, $\frac{n(n-1)}{2}$ rotaciones, $1$ dilatación, y $n$ especial de conformación de las transformaciones.

  2. Por otro lado, está el local de conformación groupoid que consiste definidos localmente conformación de las transformaciones. El local de conformación de álgebra que consta de generadores de definición local de conformación de las transformaciones. Para $n\geq 3$, (la pseudo-Riemann generalización de) Liouville del teorema establece que todos los locales de conformación de las transformaciones puede ser extendido al mundial de conformación de las transformaciones. Así, el local de conformación de álgebra sólo es interesante para $n=2$. Para el 2D plano Euclidiano $\mathbb{R}^{2}\cong \mathbb{C}$, cuando nos identificamos $z=x+iy$$\bar{z}=x-iy$, luego el local de conformación de las transformaciones locales de holomorphic y antiholomorphic mapas. El local correspondiente conformación de álgebra se convierte en dos copias de los Witt álgebra, que es un infinito-dimensional Mentira álgebra. Para el 2D plano de Minkowski $\mathbb{R}^{1,1}$, hay una historia similar, si reemplazamos el complejo de coordenadas $z$ $\bar{z}$ con luz de cono de coordenadas $x^{\pm}\in \mathbb{R}$.

Referencias:

  1. R. Blumenhagen y E. Plauschinn, Introducción a la CFT, Notas de la Conferencia en la Física 779, 2009; de la Sección 2.1.

  2. M. Schottenloher, Matemáticas Introducción a la CFT, Notas de la Conferencia en la Física 759, 2008; Capítulo 1 y 2.

  3. P. Ginsparg, Aplica la Teoría conforme de campos, arXiv:hep-th/9108028; en el Capítulo 1 y 2.

  4. J. eslovaca, Natural de Operador en la Conformación de colectores, de la Habilitación de tesis 1993; p.46. Un archivo PS está disponible aquí desde la página del autor. (Sombrero de punta: Vit Tucek.)

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