¿Puede contener un conjunto denso puntos aislados?

Question

Yo estaba interesado en esta cuestión, ¿puede un denso conjunto de contener un punto aislado, porque yo estaba leyendo en el lexicográfica del fin de la topología en la unidad de la plaza.

He leído de aquí que:

$S$ es no separable, ya que el conjunto de todos los puntos de la forma $(x,\frac{1}{2})$ es discreta pero es incontable.

Yo no entiendo por qué $T=\{ (x,\frac{1}{2} ) \,|\,\,\, 0\leq x \leq 1 \}$ es discreto, pero no veo la manera de $T$ siendo incontables nos ayuda en la muestra $S$ es no separable? Pensé que tal vez esto es porque un denso conjunto no puede contener puntos aislados? Pero no estoy seguro de en que. Si alguien puede aclarar aquí, va a ser genial!

Answer 1

Que la explicación es muy mal escrito. No es el hecho de que el conjunto es discreto que muestra que $S$ es no separable: es el hecho de que los puntos del conjunto puede estar entre pares distintos abrir intervalos, por ejemplo, los intervalos de $\big(\langle x,0\rangle,\langle x,1\rangle\big)$$x\in[0,1]$. Si $S$ tenía una contables subconjunto denso $D$, cada uno de estos una cantidad no numerable de intervalos tendría que contener un miembro diferente de $D$ lo cual es obviamente imposible.

Hay muchos espacios separables, con innumerables subconjuntos discretos, incluso incontables cerrada por subconjuntos discretos. Uno es la tangente de espacio en disco, también conocido como Moore o Niemytzki plano.

En cuanto a tu pregunta original: si el espacio tiene puntos aislados, que necesariamente debe ser parte de cualquier subconjunto denso. Esto es evidente por el hecho de que si $p$ es aislado, $\{p\}$ es un conjunto abierto, y el único punto que contiene es $p$.

Answer 2

Incluso si $X$ no hay puntos aislados, es posible que un denso conjunto de $S$ ha aislado puntos. Por ejemplo si $X$ es homogéneo, entonces cualquier conjunto de un punto es densa y este punto es aislado. O $X=A\times B$ $A$ Dónde está discreto y $B$ son homogéneo (pero $|B|>1$), la gráfica de cualquier función $A\to B$ es densa en $X$ y es un espacio discreto.