Número de $\sigma$ -Algebra sobre el conjunto finito

Question

Dejemos que $X$ es un conjunto no vacío con $m$ miembros . ¿Cuántos $\sigma$ -álgebra podemos hacer en este conjunto?

Answer 1

Respuesta corta. Puedes hacer tanto $\sigma$ -como particiones en $X$ .

Verificación formal. Dejemos que $\mathcal A$ sea la colección de todas las álgebras sobre $X$ y que $\Pi$ sean todas las particiones de $X$ (que consisten en conjuntos no vacíos). Existe una correspondencia biyectiva entre $\mathcal A$ y $\Pi$ . En efecto, para una partición $P\in \Pi$ Considera que $\mathfrak A_{\Pi}$ el álgebra generada por $\{A_1,\ldots,A_k\}$ los elementos de $P$ es decir $\mathfrak A_{\Pi}$ consiste en el conjunto $\bigcup_{j\in J}A_j$ , donde $J\subset \{1,\ldots,k\}$ . Para ver que esta correspondencia es biyectiva, dado un álgebra $\mathfrak A$ se puede definir para todos $x\in X$ el conjunto $A_x:=\bigcap_{A\in \mathfrak A,x\in A}A$ (es una intersección finita), y eso le dará una partición única.

En efecto, defina la relación de equivalencia $x\sim y$ si y sólo si $A_x=A_y$ . Da una partición, y es la única. Si $P=\{S_1,\ldots,S_m\}$ funciona, entonces $A_x=S_{i(x)}$ para algunos $i(x)$ y se puede comprobar que esta partición está formada por las clases de equivalencia de $\sim$ .

Así que el problema es enumerar el número de particiones de un conjunto que tiene $m$ elementos. Tendrá que utilizar Los números de Bell .