Número posible de términos en una progresión aritmética

Question

La suma de los primeros $n$ $(n>1)$ términos de la A. P. es $153$ y la diferencia común es $2$. Si el primer término es un número entero , el número de posibles valores de $n$ es

$a)$ $3$

$b)$ $4$

$c)$ $5$

$d)$ $6$

Mi enfoque : he utilizado la fórmula de la primera $n$ términos de un A. P. para llegar a la siguiente ecuación de segundo grado $n^2 + n(a-1) -153 = 0 $

El siguiente me di cuenta de que, ya que estamos hablando sobre el número de términos , por lo tanto el los valores posibles que n puede tomar deben ser números enteros. Que es el discriminante de la cuadrática de arriba debe producir un número entero, en otras palabras

$ (a-1)^2 + 612 = y^2 $ para algunos y .

Sin embargo, estoy atascado en este punto , ya que desde aquí no puedo averiguar el número de tal ( es decir, los primeros términos de una AP ), que completaron el triplete de pitágoras La respuesta mencionado es $5$

Por favor, hágamelo saber , si yo estoy haciendo un paso mal en algún lugar . O Si usted tiene una solución mejor , que serán bienvenidos también.

Answer 1

Para resumir la discusión (extensa) en los comentarios:

Método de OP es casi completa. Para acabar nos fijamos en la relación $$612=y^2-(a-1)^2=(y+(a-1))(y-(a+1)$$ To solve that (over the integers) we simply need to factor $ 612 = cd $ where the factors must have the same parity. There are three possible such factorings: $% $ ${18,34},\;{2,306},\:{6,102}$

Cada uno de estos da lugar a dos puntos de partida posibles para nuestra progresión. Tenemos %#% $ #%

Rechazamos el "degenerado" caso $$a\in {-151,-47,-7,9,49,153}$ como que la progresión tiene un solo término (y el OP especificado $a=153$). Así tenemos $n>1$ soluciones.

Answer 2

una de las posibles valor de $n$$3$.

La RAZÓN

Deje que el primer término de $AP$$a-2$.

$AP: a-2, a, a+2,a+4,a+6,a+8,a+10,\cdots$

La suma de los primeros tres términos de$AP= 3a$, lo que le dará $a=51$(valor entero).

Ahora la generalización de este patrón

podemos obtener otras posibles valores de $n$ $9,17,51,153$

Como cuando llegamos número impar de términos decir, $2k+1$

Podemos tomar $AP$ $a-2k,a-2(k-1),a-2(k-2),\cdots,a,a+2,a+4,\cdots,a+2(k-1),a+2k\cdots$

(Nota: he mencionado primera $2k+1$ términos aquí)

En adición de todos estos obtenemos $a(2k+1)$ (como diferencia común, se cancelará el uno del otro debido a la negativa pairity)

Por lo tanto $a(2k+1)=153\Rightarrow a=\frac{153}{2k+1}$ ,por valor integral de $a, 2k+1$ tiene que ser un factor positivo de $153$ se $5$(excepto 1).

Answer 3

Interesante pregunta (+$1$).

Como la diferencia común es $2$, la serie es de uno de los números impares, o incluso sólo números. Como la suma es un número impar, debe ser una serie de números impares con un número impar de términos. Esta estrecha hasta $3$ términos o $5$ términos de las opciones dadas.

Desde $153\div 3=51$, una comprobación rápida muestra que $49+51+53=153$ por lo tanto la respuesta es $3.\;\blacksquare$

NB: $153\div 5\approx 30$. Los cuatro más cercanos de los números impares a $30$ agregar a a $120$, y el siguiente es $25$ o $35$, ninguno de los cuales sería el resultado en $153$.