Del operador matricial hermitiano a las ecuaciones diferenciales

Question

Entiendo que si mi operador $A$ es un Hermitiano, entonces supongamos que tiene los siguientes vectores propios $$A|v_1\rangle=\lambda|v_1\rangle:(A).(V_1)=\lambda(V_1)\\ A|v_2\rangle=\beta|v_2\rangle:(A).(V_2)=\beta(V_2)\\ \langle v_2|A|v_1\rangle=\lambda\langle v_2|v_1\rangle:(V_2)^{\dagger}.(A).(V_1)=\lambda(V_2)^{\dagger}.(V_1)\\ \text{since}(A).(V_2)=\beta(V_2)\quad\text{hence}\quad (V2)^{\dagger}.(A)^{\dagger}=\beta(V_2)^{\dagger}$$ Ahora bien, si $A$ es un operador hermitiano, entonces $A=A^{\dagger}$ Por lo tanto $$(V_2)^{\dagger}.(A)^{\dagger}=(V_2)^{\dagger}.(A)=\beta(V_2)^{\dagger}\\ \text{Hence}\quad (V_2)^{\dagger}.(A).(V_1)=\beta(V_2)^{\dagger}(V_1)\\ \text{implies} \quad\langle v_2|A|v_1\rangle =\lambda\langle v_2|v_1\rangle = \beta\langle v_2|v_1\rangle:\lambda\neq\beta\\ \text{Hence}\quad \langle v_2|v_1\rangle=0$$ Entonces, los vectores deben ser ortogonales entre sí y su producto interior debe ser cero, pero ¿cómo sé en una ecuación diferencial si mi operador es hermitiano o no y si tendré soluciones cuantizadas cuyos productos interiores serán cero? Por ejemplo la ecuación de ondas de schrodinger lleva a soluciones ortogonales cuantizadas. O más bien, ¿cómo extiendo un operador hermitiano basado en matrices a una ecuación diferencial?

Answer 1

Descargo de responsabilidad: No sé la respuesta a la pregunta "¿cómo extiendo un operador hermitiano basado en matrices a una ecuación diferencial?". Conozco las respuestas a las preguntas anteriores planteadas en el post, así que, aquí están.

Establezcamos algunas definiciones. La noción de hermiticidad está ligada a la noción de producto interior. En general, para un espacio vectorial complejo $V$ si $\langle-,-\rangle:V \times V \to V$ es un producto interno hermitiano, entonces el adjunto hermitiano de un operador $A: V \to V$ se define como otro operador $A^\dagger: V \to V$ que satisfaga: $$ \langle u, A(v) \rangle = \langle A^\dagger(u), v \rangle\,. $$ para cualquier elección de vectores $u, v \in V$ . Un operador $A$ se llama hermitiano si es igual a su adjunto hermitiano. En tu ejemplo, dados dos vectores $V_1$ y $V_2$ (que son matrices de columnas con entradas complejas), su producto interior se define como $$\langle V_2, V_1 \rangle := V_2^\dagger \cdot V_1\,. \tag{ip1}$$ Con respecto a este producto interno, el adjunto hermitiano de un operador matricial es lo mismo que el conjugado de transposición (denotado convenientemente por $\dagger$ ) de dicha matriz, ya que para dos matrices de columnas cualesquiera $V_1$ y $V_2$ y cualquier matriz cuadrada $A$ que actúa sobre estas matrices columna obtenemos: $$ \langle V_2, A \cdot V_1 \rangle = V_2^\dagger \cdot A \cdot V_1 = (A^\dagger \cdot V_2) \cdot V_1 = \langle A^\dagger \cdot V_2, V_1 \rangle\,. $$ Por lo tanto, con respecto al producto interior (ip1), una matriz es hermitiana si satisface $A^\dagger = A$ como usted ha mencionado.

como se en una ecuación diferencial si mi operador es hermitiano o no

Para saber si un operador diferencial es hermitiano o no primero hay que establecer una definición de producto interior hermitiano sobre el espacio vectorial complejo de funciones (sobre el que actúa el operador diferencial).

Por ejemplo: Como nuestro espacio vectorial complejo de funciones, tomemos el espacio de funciones complejas cuadradas integrables sobre $\mathbb R$ (estas funciones se denominarán " $L^2$ ") y como nuestro operador diferencial tomemos $\hat D:= \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d x^2}}$ donde $x$ es la coordenada en $\mathbb R$ . También necesitamos un producto interior: para dos $L^2$ funciones $f$ y $g$ definimos su producto interior como: $$ \langle f, g \rangle := \int_{\mathbb R} \mathrm dx\, f(x)^* g(x)\,. \tag{ip2}$$ Ahora podemos averiguar cuál es el adjunto hermitiano de $\hat D$ es. Recordemos que $\hat D^\dagger$ es un operador que satisface $\langle \hat D^\dagger f, g \rangle = \langle f, \hat D g \rangle$ para dos $L^2$ funciones $f$ y $g$ . Utilizando la integración por partes dos veces encontramos: $$ \langle f, \hat D g \rangle = \int_{\mathbb R} \mathrm dx f(x)^* \frac{\mathrm{d^2} g(x)}{\mathrm d x^2} = -\int_{\mathbb R} \mathrm dx \frac{\mathrm df(x)^*}{\mathrm d x} \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm d x} = \int_{\mathbb R} \mathrm dx \frac{\mathrm{d^2} f(x)^*}{\mathrm d x^2} g(x) = \langle \hat D f, g\rangle\,. $$ Por lo tanto concluimos que con respecto al producto interior (ip2), el operador $\hat D$ satisface $\hat D^\dagger = \hat D$ por lo tanto, es hermitiana.

Edita: Además de las funciones $L^2$ También asumo que son al menos dos veces diferenciables para poder definir la acción de $\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm dx^2}$ También estoy suponiendo que las funciones tienen alguna condición de contorno (como la desaparición en el infinito) que me permite despreciar los términos de contorno procedentes de la integración por partes.

Obsérvese que el operador diferencial $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}$ es no hermitiana con respecto al producto interior (ip2) ya que la integración por partes da ahora $\langle f, \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} g \rangle = -\langle \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} f, g \rangle$ . Por tanto, el operador es antihermitiano: $\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^\dagger = -\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ .

y si tendré soluciones cuantizadas cuyos productos internos serán cero?

Su demostración de la ortogonalidad de los vectores propios de un operador hermitiano es válida en general. Pero que los valores propios sean discretos (cuantizados) o no depende del espacio en el que estén definidas las funciones. Si el espacio es compacto (como un círculo, o un intervalo finito (también conocido como el pozo cuadrado infinito de la mecánica cuántica)) entonces los valores propios serán discretos, si el espacio no es compacto (como por ejemplo $\mathbb R$ del ejemplo anterior) los valores propios serán continuos a menos que impongamos algunas restricciones adicionales a las funciones para restringirnos a un espacio con espectro discreto (valores propios) para el operador. Sólo se pueden escribir operadores como matrices cuadradas y vectores como matrices columna si los operadores tienen espectro discreto.

Edita: (Corrección, como señala Chappers en el comentario) Es posible tener valores propios discretos para operadores diferenciales en espacios no compactos si el espacio de funciones está restringido por condiciones de contorno suficientemente fuertes (que permitan normalizarlos, por ejemplo).

Por ejemplo, la ecuación de onda de Schrodinger conduce a soluciones ortogonales cuantizadas.

El operador diferencial en la (suponiendo independiente del tiempo) ecuación de Schrödinger, para una partícula que se mueve en un espacio unidimensional, es: $$ \hat D_\psi := -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d^2 x} + V(x)\,, $$ y el producto interno de las funciones de onda es exactamente como lo definimos en (ip2). Por lo tanto, si el potencial $V(x)$ es una función real, entonces el operador $\hat D_\psi$ es hermitiana, puesto que ya hemos demostrado que la segunda derivada es hermitiana y se puede comprobar que la multiplicación por una función real también lo es. La hermiticidad conduce a un vector propio ortogonal. Pero una vez más, los valores propios son discretos si el espacio en el que se mueve la partícula es compacto, o si imponemos la normalizabilidad que se suele suponer en escenarios físicos.

¿cómo extiendo un operador hermitiano basado en una matriz a una ecuación diferencial?

Esto parece demasiado complicado para mí, me temo. El problema es encontrar un espacio en el que exista algún operador que actúe sobre (quizás un conjunto restringido de) funciones definidas en ese espacio y los valores propios de ese operador coincidan con los valores propios de la matriz. No puedo decir nada útil sobre cómo proceder, ¡lo siento!