Conmutador de un grupo

Question

Un conmutador en un grupo $G$ es un elemento de la forma $ghg^{-1}h^{-1}$ $g,h\in G$. Que $G$ ser un grupo y $H\leq G$ un subgrupo que contiene cada conmutador.

$(a)$ Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$.

$(b)$ Demostrar que el factor grupo $G/H$ es abeliano.

No estoy seguro de qué hacer, son muy apreciadas las pruebas ni hnts. Gracias.

Answer 1

(a) $gxg^{-1}=\left(gxg^{-1}x^{-1}\right)x$

(b) $ghH=hg\left(g^{-1}h^{-1}ghH\right)=hgH$

Answer 2

Primero supongamos $H\trianglelefteq G$. A ver $G/H$ es abelian es inmediato, deje $G'$ ser el subgrupo de $G$ generado por los conmutadores, entonces para cualquier automorphism $\varphi$ y cualquier $x\in G$, $\varphi(x)$ es un producto de las cosas de la forma $\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g)^{-1}\varphi(h)^{-1}$, por lo tanto $G'$ es característico de modo que $G/G'$ es un grupo bien definido. Y debido a que $\varphi(ghg^{-1}h^{-1})=1$ esto significa $\varphi(gh)=\varphi(hg)$, es decir, $G/G'$ es abelian.

Pero luego hay un surjective homomorphism

$$G/G'\to G/H$$

dada por la reducción de modulo $H$, y dado que el dominio es abelian, por lo que es la imagen. (este es sólo el tercer teorema de isomorfismo: $G/G'\bigg/ H/G'\cong G/H$)

Por último vamos a ver que $H\trianglelefteq G$. Deje $x\in G$, luego

$$xHx^{-1}=\{xhx^{-1} : h\in H\}$$

desde $xhxh^{-1}\in H$ tenemos que $xhx^{-1}\in H$, es decir, $xh=h'x$ algunos $h'\in H$, es decir, $H\trianglelefteq G$ como se desee.