¿Cuándo un grupo Coxeter rectángulo es de un solo extremo?

Question

Dejemos que $\Gamma$ sea un grafo simplicial (es decir, sin bordes múltiples ni bucles). Definimos el grupo de Artin asociado en ángulo recto $A(\Gamma)$ por la presentación $$\langle v \in V(\Gamma) \mid [u,v]=1 \ \text{if} \ (u,v) \in E(\Gamma) \rangle,$$ y el grupo Coxeter rectangular asociado $C(\Gamma)$ por $$\langle v \in V(\Gamma) \mid u^2=1, [u,v]=1 \ \text{if} \ (u,v) \in E(\Gamma) \rangle,$$ donde $V(\Gamma)$ y $E(\Gamma)$ denotan respectivamente el conjunto de vértices y aristas de $\Gamma$ .

Del gráfico $\Gamma$ es fácil deducir el número de extremos de $A(\Gamma)$ . De hecho, $$\text{number of ends of} \ A(\Gamma)= \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{if} \ \Gamma \ \text{is empty} \\ 2 & \text{if} \ \Gamma \ \text{is a point} \\ + \infty & \text{if} \ \Gamma \ \text{is not connected} \\ 1 & \text{otherwise} \end{array} \right..$$

La situación parece ser más complicada para $C(\Gamma)$ . Por ejemplo, $\Gamma$ puede conectarse cuando $C(\Gamma)$ es prácticamente gratis (y por eso cuando $C(\Gamma)$ tiene infinitos extremos). Así que mi pregunta es:

¿Es posible deducir del gráfico $\Gamma$ cuando el grupo Coxeter rectangular asociado $C(\Gamma)$ ¿es de un solo uso?

Answer 1

Para todo lo que quiera saber sobre los extremos de los grupos de Coxeter, consulte la sección 8.7.3 de El libro de Mike Davis "The Geometry and Topology of Coxeter Groups" .

Answer 2

Como menciona Lee Mosher, la sección 8.7 del libro de Davis responde completamente a la pregunta. A continuación, aplico estos resultados al caso más específico de los grupos de Coxeter en ángulo recto.

Dejemos que $\Gamma$ sea un gráfico. El nervio del sistema de Coxeter asociado es simplemente el finalización de la bandera $f(\Gamma)$ de $\Gamma$ si existe el límite de un triángulo en $\Gamma$ pegar un triángulo a lo largo de ella, definiendo un 2-complejo $\Gamma_2$ si existe el límite de un 3-simplex en $\Gamma_2$ pegar un 3-simplex a lo largo de él, definiendo un 3-complejo $\Gamma_3$ etc. Entonces, $f(\Gamma)= \bigcup\limits_{n \geq 2} \Gamma_n$ . Lo que sea, el 1-squeleto del nervio es sólo $\Gamma$ .

Ahora, dejemos que $\Lambda \leq \Gamma$ sea un subgrafo inducido. El grupo Coxeter rectangular asociado $C(\Lambda)$ es finito si y sólo si $\Lambda$ es un gráfico completo, es decir, una camarilla de $\Gamma$ . En efecto, si existen dos vértices no adyacentes en $\Lambda$ entonces generan un subgrupo isomorfo al grupo diédrico infinito $D_{\infty}$ . Así, los conjuntos esféricos corresponden a camarillas en $\Gamma$ .

A partir de las dos observaciones anteriores, vemos que los 1-squeletos de los nervios de punción corresponden a $\Gamma$ menos una camarilla.

Por último, los teoremas 8.7.2 y 8.7.3 del libro de Davis dan:

$$\text{number of ends of} \ C(\Gamma)= \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{if} \ \Gamma \ \text{is a clique} \\ 1 & \text{if} \ \Gamma \ \text{has no separating clique} \\ 2 & \text{if} \ \Gamma= K \ast V_2 \\ + \infty & \text{otherwise} \end{array} \right..$$

Por $\Gamma= K \ast V_2$ Quiero decir que $\Gamma$ es la unión de un gráfico completo $K$ con la unión disjunta $V_2$ de dos vértices. Una camarilla $\Lambda \leq \Gamma$ es separando si su complemento en $\Gamma$ no está conectado.