Encontrar el valor de la integral: $I=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{(2+\cos x)^2}$

Question

Encontrar el valor de la integral: $$I_1=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{(2+\cos x)^2}$$ and $% $ $I_2=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{(2+\sin x)^2}$

No sé cómo, necesito una solución, por favor

Answer 1

También podemos utilizar el contorno de la integración.

Deje $z=e^{ix}$, $\mathrm{d}x=-i\,\mathrm{d}z/z$ $\cos(x)=\frac{z+1/z}{2}$ $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}x}{(2+\cos(x))^2} &=\oint\frac{-i\,\mathrm{d}{z}/z}{\left(2+\frac{z+1/z}{2}\right)^2}\\ &=\oint\frac{-4iz\,\mathrm{d}{z}}{(z^2+4z+1)^2}\tag{1} \end{align} $$ Los ceros de $z^2+4z+1$ $-2\pm\sqrt3$. $-2-\sqrt3$ está fuera del círculo unidad, por lo que el único polo que importa es lo $-2+\sqrt3$.

Parcial fracciones da $$ \frac{z}{(z-a)^2(z-b)^2}=\frac{\frac{a+b}{(b-a)^3}}{z-a}+\frac{\frac{b+a}{(a-b)^3}}{z-b}+\frac{\frac{a}{(a-b)^2}}{(z-a)^2}+\frac{\frac{b}{(b-a)^2}}{(z-b)^2}\tag{2} $$ Con $a=-2+\sqrt3$$b=-2-\sqrt3$, se obtiene el residuo de $(2)$$z=a$$\frac1{6\sqrt3}$. Conectando a $(1)$ da $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}x}{(2+\cos(x))^2} &=(2\pi i)(-4i)\frac1{6\sqrt3}\\ &=\frac{4\pi}{3\sqrt3}\tag{3} \end{align} $$

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Mi primera inclinación fue el uso de Igor sustitución, sólo para verificar la respuesta anterior, me calculará mediante la sustitución de $z=\tan(x/2)$ donde$\mathrm{d}x=\frac{2\,\mathrm{d}z}{1+z^2}$$\cos(x)=\frac{1-z^2}{1+z^2}$ : $$ \begin{align} &\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}x}{(2+\cos(x))^2}\\ &=\int_{-\infty}^\infty\frac{\frac{2\,\mathrm{d}z}{1+z^2}}{\left(2+\frac{1-z^2}{1+z^2}\right)^2}\\ &=\int_{-\infty}^\infty\frac{2(1+z^2)\,\mathrm{d}z}{\left(3+z^2\right)^2}\\ &=\int_{-\infty}^\infty\frac{2\,\mathrm{d}z}{3+z^2}-\int_{-\infty}^\infty\frac{4\,\mathrm{d}z}{\left(3+z^2\right)^2}\\ &=\frac2{\sqrt3}\left[\tan^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt3}\right)\right]_{-\infty}^\infty-\frac2{3\sqrt3}\left[\tan^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt3}\right)+\frac{\sqrt3z}{3+z^2}\right]_{-\infty}^\infty\\ &=\frac{4\pi}{3\sqrt3}\tag{4} \end{align} $$

Answer 2

Utilizar la sustitución de $u = \tan x/2$, que transforma esto en una función racional.

Answer 3

Que $\displaystyle I = \frac{\sin x}{(2+\cos x)}$

Ahora diff. ambos lados w.r. $x$, $\displaystyle \frac{dI}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right) = \frac{(2+\cos x)\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{(2+\cos x)^2}$

$\displaystyle \frac{dI}{dx} = \frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}\Rightarrow \frac{dI}{dx} = \frac{2\cdot \left(2+\cos x\right)-3}{(2+\cos x)^2} = \frac{2}{2+\cos x}-3\cdot \frac{1}{(2+\cos x)^2}$

Ahora integrar ambos lados w. r. a $x$

$\displaystyle \int \frac{dI}{dx}dx = 2\int\frac{1}{(2+\cos x)}dx - 3\int\frac{1}{(2+\cos x)^2}dx$

Así $\displaystyle \int\frac{1}{(2+\cos x)^2}dx = \frac{2}{3}\int\frac{1}{(2+\cos x)}dx-\frac{1}{3}\cdot I$

Ahora a poner $\displaystyle \cos x = \frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}$

$\displaystyle \int\frac{1}{(2+\cos x)^2}dx = \frac{2}{3}\int\frac{1+\tan^2 \frac{x}{2}}{2+2\tan^2 \frac{x}{2}+1-\tan^2 \frac{x}{2}}dx-\frac{1}{3}\cdot \frac{\sin x}{2+\cos x}+\mathbb{C}$

$\displaystyle = \frac{2}{3}\int\frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{3+\tan^2 \frac{x}{2}}dx-\frac{1}{3}\cdot \frac{\sin x}{2+\cos x}+\mathbb{C}$

Que $\displaystyle \tan \frac{x}{2} = t$ y $\sec^2\frac{x}{2}dx = 2dt$

$\displaystyle = \frac{4}{3}\int \frac{1}{t^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}dt-\frac{1}{3}\cdot \frac{\sin x}{2+\cos x}+\mathbb{C}$

$\displaystyle \int\frac{1}{(2+\cos x)^2}dx = \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \tan^{-1}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{3}\cdot \frac{\sin x}{2+\cos x}+\mathbb{C}$

Sí no se ha definido en $\displaystyle \tan \frac{x}{2}$ % Mrnhan $\displaystyle x = \pi$

Gracias Alraxite.