Dado $a+b+c=4$encontrar $\max(ab+ac+bc)$

Question

$a+b+c = 4$. ¿Cuál es el máximo valor de $ab+ac+bc$?

Este podría ser resuelto por una simple aplicación de la desigualdad de Jensen? Si es así, estoy seguro de cuál elegir para $f(x)$. Si $ab+ac+bc$ es tratado como una función de $a$ parece que no hay manera fácil de expresar $bc$ en términos de $a$.

EDIT: el contexto de La pregunta es el de maximizar el área de superficie de un prisma rectangular. También podría haber interpretado mal la pregunta, porque dice: "la suma de la longitud de los bordes (longitudes de los lados son a,b,c) es de 4", y da las opciones de $\frac1{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}$.

De lo contrario, ¿cómo podría hacerse esto?

Answer 1

@James, primero nos cuadrado ambos lados:

$$(a+b+c)^2=1 \implies 1=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\tag{1}$$ $$\because a^2+b^2+c^2 \geq ab +ac + bc\tag{2}$$

Para a, b, c > 0

$$ \ 1 \geq 3(ab+bc+ac) \tag{3}$$ $$ \frac{1}{3} \geq ab +bc+ca\tag{4} \ \square$$

$(2)$ puede ser probado fácilmente considerando: $(a-b)^2 \geq 0 \ (b-c)^2 \geq 0 \ (a-c)^2 \geq 0 $ y añadiendo las 3 desigualdades y reorganizar.

$(3)$ sigue usando $(2)$ reemplazar el menor $a^2+b^2+c^2$ $(1)$ $ab+ac+bc$.

Superficie es $2(ab+bc+ca)$, por lo que la superficie máxima es simplemente $\frac{2}{3}$

Answer 2

Desigualdad de Jensen da \left[\frac13(a+b+c)\right]^2\le\frac13(a^2+b^2+c^2) $$ $$ y sabemos que $$\begin{align} ab+bc+ca &=\frac12\left[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\right]\ &\le\frac12\left[(a+b+c)^2-\frac13(a+b+c)^2\right]\ &=\frac13(a+b+c)^2 \end {alinee el} $$ y la igualdad puede lograrse cuando $a=b=c$. Por lo tanto, si $a+b+c=4$, el máximo de $ab+bc+ca$ es $\frac{16}{3}$ que se puede lograr si $a=b=c=\frac43$.