Incrustación de n-Torus en $\mathbb{R}^{n+1}$ mediante una función implícita $T^n=f^{-1}(0)$

Question

Mi objetivo es demostrar que el $n$ -Torus $T^n = S^1 \times \ldots \times S^1$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}^{n+1}$ dando una función $f: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que el Torus está descrito por todos los puntos que satisfacen $\ f(x_1,\ldots,x_n)=0$ . Esto es bastante sencillo en el caso bidimensional con la ecuación $(\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2=r^2$ . Tratando de encontrar una ecuación similar para dimensiones más altas estaba empezando con una descripción paramétrica de $T^3$ y luego trató de eliminar los parámetros para obtener una descripción implícita. Pero ya en este caso se volvió extremadamente complicado con un montón de distinciones de casos (ya que $\sin$ y $\cos$ no puede invertirse de una vez para todo el intervalo de los parámetros $(0,2\pi)$ ).

Entonces, ¿alguien conoce una forma más elegante de lograr una descripción implícita de $T^3$ y eventualmente $T^n$ ¿o es que no hay ninguno?

Answer 1

Comience con la ecuación $$x_1^2+x_2^2=r_1^2$$ que describe un círculo centrado en el lugar de radio $r_1$ . Sustituir $x_2$ por $\sqrt{x_2^2+x_3^2}-r_2$ Así que consigue $$x_1^2+(\sqrt{x_2^2+x_3^2}-r_2)^2=r_1^2.$$ Este es un $2$ -toro con radios $r_1$ y $r_2$ . Hagamos esto de nuevo: reemplazar la última variable $x_3$ por $\sqrt{x_3^2+x_4^2}-r_3$ , para conseguir $$x_1^2+(\sqrt{x_2^2+(\sqrt{x_3^2+x_4^2}-r_3)^2}-r_2)^2=r_1^2.$$ Este es un $3$ -toro con radios $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ .

Uno puede seguir todo lo que quiera.

Se trata simplemente de utilizar el procedimiento que va, por ejemplo, de una curva a la superficie de revolución que genera, varias veces.

(Por supuesto, los radios tienen que ser tales que la cosa sea un toro real, sin auto-intersecciones)