¿Lo que ' s mal con esta combinación?

Question

Hay $20$ de los estudiantes. $8$ de ellos son varones, mientras que el otro $12$ son niñas. Tengo que recoger $4$ de ellos y tengo que tener al menos un niño y una niña en mi selección.

Hay $4$ lugares para elegir. Pongamos nombre a, B, C, y D.

1. He a $12$ opciones para elegir a una chica para el primer lugar.
2. He a $8$ opciones para escoger a un chico por el segundo puesto.
3. He a $18$ opciones para elegir a alguien para el tercer lugar.
4. He a $17$ opciones para elegir a la última persona.

Desde arriba, he a$12 \cdot 8 \cdot 18 \cdot 17$$29376$. De todos modos, no importa el orden de lo divido $29376$ $4!$ y consigue $1224$.

Pero la respuesta es $4280$ y que consiguen que el número de llegar todas las posibilidades de elección de un equipo de ${20 \choose 4}$, luego restar con posibilidad de elegir todas las niñas ${12 \choose 4}$ y la elección de todos los niños de la ${8 \choose 4}$.

Yo no entiendo por qué el método que yo uso me lleva a una respuesta incorrecta.

Answer 1

¡Simplemente no puede dividirse por 4! debido a que sólo se puede hacer si las combinaciones están contando con $12 \cdot 8 \cdot 18 \cdot 17$ es ya parcialmente ordenado con los dos primeros productos correspondientes al primer hombre y mujer elegido. Se podría dividir por 4. Si hay no los pedidos en las dos primeras selecciones.

La solución propuesta de "ellos" es correcta.

Answer 2

Considere el caso donde elegir Amy (una niña), junto con Bert, Carl, y Dave (tres niños).

Cuando se divide por $4!$ en su método de recuento, se supone implícitamente que hay $4!$ secuencias en las que podría haber elegido Amy, Bert, Carl, y Dave. Pero, de hecho, aquí son sólo seis secuencias en el que podría haber elegido estos cuatro niños, porque siempre poner a una chica en el primer punto:

1. Amy, Bert, Carl, Dave
2. Amy, Bert, Dave, Carl
3. Amy, Carl, Bert, Dave
4. Amy, Carl, Dave, Bert
5. Amy, Dave, Bert, Carl
6. Amy, Dave, Carl, Bert

Así que en este caso, dividiendo por $4!$ tiene mal contadas por un factor de $4$. De hecho, cada caso es omitidas, debido a la suposición implícita de de $4!$ secuencias incluye varias secuencias en las que el "primer" niño es un chico o la "segunda" es una niña (o ambos), ninguno de los cuales puede en realidad se produce por su procedimiento de selección.

Answer 3

Para conseguir el agarre en las condiciones de al menos se puede calcular el número de todas las combinaciones sin condiciones menos el número de combinaciones con ninguna (sólo chicos) y no niñas (sólo niñas):

${20 \choose 4}-{12 \choose 4}-{8 \choose 4} $

Calcular el "Número de eventos posibles"-"número de eventos complementarios" = "Número de eventos requiere"

Answer 4

El problema es que el primer punto no necesita ser una chica y el segundo neddn't ser para un niño.

Es la forma correcta de hacer este problema:

1. Hay maneras de $\binom{20}4=4845$ para elegir las cuatro personas.
2. Hay maneras de $\binom{12}4=495$ $4$ niñas de elegir.
3. Hay maneras de $\binom{8}4=70$ $4$ chicos de elegir.

Resultado: $4845-(495+70)$.