Deje $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$$f(x,y)=e^{-x}(x\sin y-y\cos y)$.
1 Deje $g$ ser uno de los conjugar los armónicos de $f$ $\mathbb{R}^2$ y asumir las curvas de nivel de $f$ $g$ se cruzan.¿Cómo puedo demostrar que las curvas de nivel se intersecan en ángulos rectos (por cálculo)?
2 ¿Cuál es la explicación conceptual detrás de la derecha ángulo de intersección?
Lo que yo sé:
1 La armónica conjugados son de la forma $$g(x,y)=e^{-x}(x\cos y+y\sin y)-e^{-x_0}(x_0\cos y_0+y_0\sin y_0)$$ with $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2.$
Si me tome $(x_0,y_0)=(0,0)$, puedo tomar $g(x,y)=e^{-x}(x\cos y+y\sin y)=C$ $f(x,y)=e^{-x}(x\sin y-y\cos y)=C$ como curvas de nivel. Cómo iba yo a continuación, mostrar que se cruzan en ángulos rectos?
2 sé que el ser conjugado armónico de las funciones de los medios que $f,g$ son las partes real e imaginaria de un holomorphic función de $\phi(z)$ con variable compleja $z=x+iy$ y $f,g$ satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones. ¿Pero esto nada dice acerca de las curvas de nivel se cruzan en ángulos rectos?
